三維空間中判斷射線與平面是否相交

摘要

本文內容包括：

• 三維空間中射線與平面的表示方法，
• 三維空間中判斷射線與平面是否相交。

文末參考鏈接的資料都不錯，但總漏點東西，所以把它們說總結到了一起。

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三維空間中射線的表示方法

射線可以用三個量來表示：射線的起始點、射線的方向向量以及射線的長度。

如圖所示的射線的參數方程爲：
$P(t) = P_0^{'} + t \vec{u}$
其中，$P(t)$爲射線上的點，其所有可能的結果構成了整條射線；$P_0^{'}$是射線的起點，$\vec{u}$ 爲射線的方向向量，$t$爲射線的長度且$t∈[0,∞)$

三維空間中平面的表示方法

平面可以用二個量來表示：平面上任一點，過該點的平面法向量。

如圖所示的平面的參數方程爲：
$(P_0 - P)\vec{n} = 0$
其中，$P$爲變量，其所有可能的結果組成了這個平面；$P_0$爲平面上已知的某一點，$\vec{n}$爲平面上過已知點$P_0$的法向量。
公式的物理意義爲：$(P_0 - P)$表示平面上的向量，其與平面法向量$\vec{n}$總是垂直的，故它們之間的內積爲0.

三維空間中射線與平面是否相交的判斷方法

射線與平面存在3種情況：

1. 射線與平面平行。這時候肯定不相交。
2. 射線與平面不平行。但平面在射線負方向，這時候也不相交。
3. 射線與平面不平行。且平面在射線正方向，這時候射線與平面相交。

下面分情況討論。
$\vec{n}\vec{u} = 0$時，這時候肯定不相交。
$\vec{n}\vec{u} \neq 0$時，射線與平面不平行，射線所在的直線與平面必定相交於一點，記該點爲$P(t)$，那麼有：
$(P_0 - P(t))\vec{n} = 0$
帶入射線參數方程$P(t) = P_0^{'} + t \vec{u}$， 有
$(P_0 - P_0^{'} + t \vec{u})\vec{n} = 0$
解之得
$t = \frac{(P_0^{'} - P_0)\vec{n}}{\vec{u}\vec{n}}$注意，這裏是向量點積，所以分子分母的$\vec{n}$不能消掉。
當$t >= 0$時，交點在射線正方向上，所以射線與平面相交；
當$t < 0$時，交點在射線負方向上，所以射線與平面不相交。

相關/參考鏈接

• 射線與平面相交判斷 | 講得我覺得最好的，但是沒有講分母爲0爲射線與平面平行的情況
• 射線與平面相交 | 講了分母爲零的情況
• 射線、平面的表示方式 | 講得很簡潔，但是有地方沒講清楚