第一章 函數 極限 連續
第二節 極限
題型二 求極限
分支二 數列的極限
共有6張圖
共有17道題
數列的極限分3種形式
第一種形式是和
第二種形式是乘
第三種形式是遞推關係定義的數列
關於和有三種方法
第一種方法是夾逼準則
第二種方法是用定積分定義
第三種方法是使用級數求和
關於乘有2種方法
第一種方法夾逼準則
第二種方法就是取對數
關於遞推關係有2種方法
第一種方法使用單調有界數列必有極限
第二種方法先另其極限是a，然後證明極限就是a
第一題
首先你需要知道一個結論
當變化部分的最高次相對於主體部分是底次時
使用夾逼準則，如果是同量級就用定積分定義
這題肯定是用夾逼準則
總共的項數是n
第二題
很明顯這個題用定積分定義
在你使用定積分的定義時，看是否能取出可愛因子，也就是ｎ分之一。記住僅僅是ｎ分之一，其他的都不行。最終的積分上下限一定是0到1
第三四五六題
還是剛纔那個方法，觀察變化部分的最大值與主體部分相比是否是次量級的還是同量級的。
第一個是同量級的所以用定積分
第二個很明顯那個lnn變化速度比n要慢，也就是次量級的，所以使用夾逼準則
第三個是n平方和sinx的平方，也就是用x和sinx進行比較，我們有一個結論就是x要大於sinx，所以使用夾逼準則
第四個大眼一看是同量級的，所以使用定積分
第七題
這道題直接把n分之一提到求和號外面
然後直接轉化爲定積分
第八題
按照前面的方法先判斷是使用夾逼準則還是使用定積分，很明顯這是使用夾逼準則。
使用假幣準則之後會多出來兩個式子，這時我們可以嘗試用定積分來求極限，但是在使用定積分之前我們可以先對式子進行一下簡化，比如左邊那個式子n加1分之一就等於n分之一，右邊那個式子是n加上n分之一和的分之一，它是小於n分之一的。然後再用定積分。你如果不簡化的話，可能最後會算錯。因爲定積分中的每一個變量都是變的，提出ｎ分之一後的n加一分之一，結果是一加上n分之一和的分之一，這個是不變的，所以不能用定積分。
第九題
這道題採用級數求和法做
很明顯看到他的和的通項爲nxn-1
設和爲Sx，它的通項其實就是x的n次方的導數
然後再用一次等比數列的求和公式
第十題
設a1，a2，am的最大值爲a
使用夾逼準則
大於等於最大值的ｎ次方再開ｎ次根號
小於等於把每一個a都換成最大值的n次方再開根號
第一問很好做
第二本是把那個a變成a分之一，然後相應的n肯定要變成-n，ｂ的變化與ａ是一樣的
第三問呢，一就等於一的ｎ次方，然後套用那個結論就可以了，不過最後可能要分類討論
第十一題
我們之前學的都是和
接下來我們學習乘
直接用夾逼準則吧
第十二題
第三張圖片的最下面
直接對其進行去對數
這樣你就看到很長的一串了
我們之前學過定積分就是針對很長的一串
那我們現在也考慮一下定積分
再用定積分做的時候肯定要第一步提出可愛因子
第十三題
上面那張圖片的藍色部分
直接使用取對數法
第十四題
這道題使用單調有界數列必有極限這個方法做
先證明它的單調和有界性
x1小於三，很容易求助x2小於二分之三
然後你畫個圖很容易看出xn小於二分之三
證明單調性就是前面一項減去後面一項
第十五題
先得出關於xn和xn+1的等式
然後構造函數f(x)，對其進行求導
這樣就可以判斷是單調增加還是減少了
對於有界性，可以通過歸納法進行證明
x1<3,設xn<3
證明xn+1也小於3
當然你可以用第二種方法做
先令它的極限是3，這個3你是猜出來的
然後證明其極限是3
用|xn -3 | 當n區域無窮大時，趨於0
記住證的時候注意遞推關係
也就是左右兩邊都要出現的x的n次方或者x的n-1次方以此類推x2和x1
第十六題
上張圖片的最下面
用到二級結論sinx<x
所以xn+1<sinxn<xn
所以是單調遞減
所以必有下界
又因爲x>0,所以下界是0
至於第二問先把xn+1帶入，你就會發現是sinx/x的經典類型
然後接下來用等價無窮小，(1+x)的n次方等價於nx
第十七題
採用方法2
先設極限是a
因爲給了xn+1和xn的關係式
所以很容易求出a
然後證明極限是a
方法和第十五題一樣
總結
數列居然也可以進行求導
前提是知道它的通項
有界性未必要嚴格證明
如果一個數列是單調遞減的，題中又給了大於0，就有可能直接得出下界是0
具體請看題16的第一問
這三類提醒還是要背發法