【計算機組成原理】乘法運算總結

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計算機中實現乘法運算有兩種方式, 使用原碼實現和使用補碼實現.

使用原碼並行乘法

使用原碼事項乘法的方式, 類似於筆算乘法, 符號位使用異或電路實現.

運算過程: 加法 + 移位

有成熟的末位決定被乘數是否與原部分積相加, 部分積右移移位形成新的部分積. 部分積 就是被乘數乘以乘數積的其中一行.

定義公式:
$[x]_原 = x_0.x_1\ x_2\dots x_n \\ [x]_原 = x_0.x_1\ x_2\dots x_n \\ \therefore [x\cdot y]_原 = (x_0 \oplus y_0)+(x_1 x_2\dots x_n)\cdot (y_1 y_2\dots y_n)$

例1: $A = -0.1101 \quad B=0.1011 $

直接算: $\Rightarrow A \times B=-0.10001111$

根據公式計算:

$[A]_原 = 1.1101 \quad [B]_原=0.1011$

$[x \cdot y]_原 = (1 \oplus 0)+ (0.10001111)= [1.10001111]_原 = -0.10001111$

移位操作

• 邏輯左移(LSL)和邏輯右移(LSR): bit位向左右移, 空出來的使用0補全
• 算術左移(ASL)和算術右移(ASR): 算術左移同邏輯左移; 算術右移, bit位向右移, 空出來的使用符號位補全

第一類移動是將bit位簡單移動, 不考慮計算因素, 第二類是在計算中的移位, 在補碼運算中意義重大.

正、負數補碼(算術)右移的意義

• 正數右移相當於對被操作數進行整除
• 負數右移也是對被操作數進行整除, 需要注意: 如果有餘數, 結果-1; 負數整除最大值爲-1;

定點小數真值和補碼的另一關係

$[X]_補 = X_0.X_1X_2\dots X_n$

$[X]_原 = -X_0 + 0.X_1X_2\dots X_n$

例:

$[1.11]_補 = -1 + 0.11 = -1 + 0.11 = [-0.01]_真$

$[1.1]_補 = -1 + 0.1 = [-0.1]_真$

補碼乘法規則

設被乘數 $[x]_補 = x_0.x_1 x_2 \dots x_n$ , 乘數 $[y]_補= y_0.y_1 y_2 \dots y_n$

• 若被乘數任意, 乘數爲正
  • 同原碼乘法規則, 但加法和移位操作按補碼規則運算
  • 乘積的符號自然形成
  • 公式爲: $[x \cdot y]_補 = [x]_補 (0.y_1 y_2 \dots y_n)$ --無需校正
• 拖被乘數任意, 乘數爲負
  • 乘數 $[y]_補$ , 去掉符號位, 操作同上
  • 運算完成後, 需對結果加 $[-x]_補$ 校正
  • 公式爲: $[x \cdot y]_補 = [x]_補 (0.y_1 y_2 \dots y_n) + [-x]_補$

**統一補碼乘法公式: ** $[x\cdot y]_補 = [x]_補 (0.y_1 y_2 \dots y_n) + [-x]_補\cdot y_0$

Booth算法

運算規則

• 符號位參與運算, 運算數均以補碼錶示
• 被乘數一般去雙符號位參與運算
• 乘數可取單符號位
• 乘數末位增設附加爲$Y_{n+1}$ , 切初值爲0
• 操作按下表
• 最後一步無需移位

$Y_n$	$Y_{n+1}$	操作
0	0	部分積右移移位
0	1	部分積加 $[x]_補$ , 右移一位
1	0	部分積加 $[-x]_補$ , 右移一位
1	1	部分積右移一位

運算過程

Booth運算電路邏輯圖

總結

計算集中乘法是通過加法實現的, 這裏的加法不是簡答的累加(例 4*5, 不是把4累加5次), 而是通過移位相加的方式, 通過計算機Booth算法進行乘法運算時最多相加次數爲除數位數減1次.