五分鐘瞭解先驗概率和後驗概率

五分鐘瞭解先驗概率和後驗概率

本文摘自我的公衆號【車子的心智探索】
歡迎關注我！

不理解先驗概率和後驗概率？莫慌，本文可以幫你。

從面積的角度看概率

在說正題之前，咱們從面積的角度認識一下概率。

拿擲骰子來說，每個點的概率是相等的，因爲總概率是 1，所以每個點數的概率是 1/6。我們用格子的大小來表示概率，那麼擲骰子的概率圖是這樣的：

如果把擲出的點數小於等於 4 記作事件 F，問你 P(F) 等於多少，你會說等於 4/6 = 2/3.

如果用面積圖來算呢？把對應點數的面積加起來就可以。

四個方塊的面積之和 = 1/6 * 4 = 2/3

某種可能性消失

我洗好了 52 張撲克牌擺在你面前，撲克牌背面朝上。如果我問你，最上面這張是黑桃的概率是多少？你肯定會說四分之一。因爲撲克牌共有四種花色，每一種花色的可能性都是相等的。

但是，我趁你不注意的時候偷看了一眼最上面的牌，然後告訴你這張牌是黑色的。這時候我再問你，最上面這張是黑桃的概率是多少？

因爲已經確定花色是黑色，所以紅桃或方塊的可能性不存在了，只有可能是黑桃或梅花，所以，你推測這張牌是黑桃的概率爲二分之一。

畫圖解釋就是：

從面積角度看，整個過程是這樣的：

當得知花色是黑色的時候，表示紅桃和方塊的兩個方形不見了，只剩下黑桃和梅花，因爲概率之和總是 1，所以把它們各自的面積向上伸展，直到總和爲 1。注意，在伸展的同時要保持黑桃和梅花的面積比例不變，於是結果就是各佔 1/2。

當然，也可以更簡單，既然要保持黑桃和梅花的面積比例不變，不妨假設都伸展 k 倍。

$\frac{黑桃的面積}{總面積}=\frac{\frac{1}{4}k}{\frac{1}{4}k+\frac{1}{4}k}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$

又因爲總面積爲 1，所以黑桃的面積是 1/2.

好了，進入正題。

先驗概率與後驗概率

看這樣一個問題：

假設某種癌症的患病率爲0.1%（0.001）。有一個簡易的方法能夠檢查出是否患病，但是不能百分之百檢查出——患上這種癌症的人中有 95%（0.95）的概率被診斷爲陽性；另一方面，健康人羣也有 2%（0.02）的可能性被誤診爲陽性。如果你的檢查結果是陽性，請問你實際患上這種癌症的概率爲多少？

這裏的患病率就是先驗概率。

如果要在檢查前推測自己是否罹患這種癌症，概率圖如下。左側條形的面積是 0.001，右側矩形的面積是 0.999，分別表示得癌症的概率和健康的概率。

通過流行病學數據可知，這種癌症的罹患率爲 0.001。也就是說，1000 人中有 1 人罹患這種癌症。在沒有任何個人信息的情況下，你屬於圖中左側世界的概率是 0.001，屬於右側世界的概率是 0.999。

按照題目信息，可以製作一個表格。

先看癌症患者這行，在患癌症的情況下，檢查結果呈陽性的概率爲 0.95。也就是說，如果你真得了癌症，能檢查出來的概率爲 95%。還有 5% 的概率查不出來。

再看健康者這行，如果你是健康人，那麼誤診爲陽性的概率爲 2%，準確診斷爲陰性的概率是 98%。

所以，檢查存在着誤診的風險。所謂的風險包含以下兩種情況：

1. 身患癌症，卻診斷沒有患病
2. 健康，卻誤診爲患病

在前面那張圖的基礎上，我們可以根據陽性率和陰性率繼續分割。

左側是患癌症這一類別，把這個條形按照面積之比 0.95：0.05 來分割 ，那麼患癌呈陽性的概率是 0.001*0.95；同理，可以算出其他三部分的概率（面積）。

當你做完檢查，肯定屬於以下四種可能性中的一種：

1. 患癌並呈現陽性（左上區域）
2. 患癌並呈現陰性（左下區域）
3. 健康並呈現陽性（右上區域）
4. 健康並呈現陰性（右下區域）

再回到原題，你的檢查結果呈陽性，於是之前的 4 種情況就變成 2 種了。

同前面撲克牌問題的計算方法類似，你患癌症的概率是 0.095% ÷ （0.095% + 1.998%）= 0.045（保留三位小數）。

從這個結果可知，在得知陽性這一檢查結果的情況下，你罹患這種癌症的概率約爲 4.5% ，這便是後驗概率。

頻率樹的方法

還有一種方法值得介紹，就是頻率樹。假設總人口是 10 萬人，根據各種情況，最後可以生成一棵樹。

是不是這種方法更直觀呢？

-----【End】-----

參考資料
小島寬之.(2018).統計學關我什麼事:生活中的極簡統計學.北京時代華文書局.