参考用书《李范全书》
一、def
∣aij∣=j1j2...jn∑(−1)τ(j1j2...jn)a1j1a2j2...anjn
二、properties
- ∣AT∣=∣A∣
- 行行/列列交换一次,需变号一次。
- ∣cA∣=cn∣A∣
- 行/列倍数加至另一行/列,值不变。
- ∣α,β1+β2,γ∣=∣α,β1,γ∣+∣α,β2,γ∣
行列式运算需区别于矩阵运算
(a,b1,c)+(a,b2,c)=(2a,b1+b2,2c)
∣a,b1,c∣+∣a,b2,c∣=∣a,b1+b2,c∣
注:行列式各列间运算独立,是存同求异的。
- 两行/列互为倍数,值为0。
- ai,jAm,n={∣A∣0,(i=m)∧(j=n),else
- [A0CB]=[AD0B]=∣A∣∣B∣
- Vandermode行列式=i<j∏(aj−ai)
Vandermode行列式=0⟺a1,a2,...,an两两不同
三、calculation
- By Crammer Rule
- By Properties
- By def
- By quiz
四、quiz
- 多项式展开式:
f(x)==(x−a1)(x−a2)(x−a3)(x−a4)x4−(a1+a2+a3+a4)x3+(a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4)x2−(a1a2a3+a1a2a4+a1a3a4+a2a3a4)x+a1a2a3a4
x^3的系数为−(a1+a2+a3+a4)
- 矩阵A,B分别为m,n阶矩阵,有
∣∣∣∣CBA0∣∣∣∣=∣∣∣∣0BAD∣∣∣∣=(−1)mn∣A∣∣B∣
证明:各列邻换成pro8形式
- 抽象行列式计算,注意可使用pro4。
- 展开式计算行列式,注意观察是否某行或某列的元素相近,可利用初等变换”化零阶法“计算。
- ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣abb⋯bbab⋯bbba⋯b⋯⋯⋯⋱⋯bbb⋯a∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=[a+(n−1)b](a−b)n−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1+a23⋯n12+a3⋯n123+a⋯n⋯⋯⋯⋱⋯123⋯n+a∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=[a+2n(n+1)]an−1
- 这是一道有趣易被骗的题目
计算n阶行列式
D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1a2a3⋯an−1x0⋯00−1x⋯0⋯⋯⋯⋱⋯000⋯x∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
解:对第一列展开:
D=i=1∑naiAi1=i=1∑n(−1)i+1aiMi1
Mi1=∣∣∣∣Gi00Hi∣∣∣∣
其中,G_i是一对角线元素都是-1的i-1阶下三角矩阵,H_i是一对角线元素都是x的n-i阶上三角矩阵,于是
Mi1=∣Gi∣∣Hi∣=(−1)i−1xn−i
代入得:D=i=1∑naixn−i
特别注意!!G_i是一对角线元素都是-1的i-1阶下三角矩阵,H_i是一对角线元素都是x的n-i阶上三角矩阵
- D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a0⋮0bba⋮000b⋮00⋯⋯⋯⋯00⋮a000⋮ba∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=an+(−1)n+1bn
五、further
大数据显示,考场上计算行列式使用数归、递推等,趋于不可能事件,只是,数学怎可放过这些鼻祖证明方法。以下内容供活络筋骨与想象力之用。
- By 数归
eg1. 三斜线行列式(非0元素仅出现于对角线及其上下两条斜线上的行列式,且这些元素相同),证明其行列式的值,是数归典型例题。
eg2. 证明:D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1−a−10⋮00a1−a−1⋮000a1−a⋮−10⋯⋯⋯⋯⋯000⋮1−a−1000⋮a1−a∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=i=0∑n(−a)n
证明:记此行列式为D_n,对第1行展开,得到一个递推公式:
Dn=(1−a)Dn−1+aDn−2
以下用数归证明:
对n=1,2,有:D1=1−a,D2=∣∣∣∣1−a−1a1−a∣∣∣∣=(1−a)2+a=1−a+a2
假设对n-1和n-2结论成立,下证对n也成立:
Dn−1=1−a+a2−a3+⋯+(−a)n−1,Dn−2=1−a+a2−a3+⋯+(−a)n−2
则由递推公式化简得证。
eg3.证明“爪形行列式”
D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1b10⋮00a2c2b2⋮00a30c3⋮00⋯⋯⋯⋯⋯an−100⋮cn−1bn−1an00⋮0cn∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=i=1∑n(−1)i−1b1⋯bi−1aici+1⋯cn
证明:对第n列展开得递推公式再数归,即可得证。
事实上,只需对第1行展开就可求值:
i=1∑n(−1)i−1b1⋯bi−1aici+1⋯cn=i=1∑n(−1)i+1aiM1i=i=1∑n(−1)i−1aiM1i
其中,M1i=∣Gi∣∣Hi∣=b1⋯bi−1ci+1⋯cn
- By 递推
eg4.计算
Dn=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣110⋮0111⋮0011⋮0001⋮0⋯⋯⋯⋯000⋮1000⋮1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
n>=3时,对第1列/行展开得,Dn=A11+A21=Dn−1−M21=Dn−1−Dn−2
n>=4时,有
Dn=Dn−1−Dn−2=Dn−2−Dn−3−Dn−2=−Dn−3
再由D_1=1,D_2=0,D_3=D_2-D_1=-1得
Dn={(−1)k0,n=3k,3k+1,n=3k+2
- By 数列(重要)
eg.2
证明:记此行列式为D_n,对第1行展开,得到一个递推公式:
Dn=(1−a)Dn−1+aDn−2
记H_n=D_n-D_{n-1}(n>=2)有
Hn=−aHn−1
即{H_n}是公比为-a的等比数列。
eg5. 证明:
D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2aa20⋮0012aa2⋮00012a⋮00001⋮00⋯⋯⋯⋯⋯000⋮a20000⋮2aa2000⋮12a∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=(n+1)an
证明:也可由数归,此由数列。
展开式得递推Dn=2aDn−1−a2Dn−2
Dn−aDn−1=a(Dn−1−aDn−2)
记H_n=D_n-aD_{n-1},
Hn=aHn−1
即{H_n}是公比为a的等比数列。
eg6.证明:
D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a+ba⋮00ba+b⋮000b⋮00⋯⋯⋯⋯00⋮a+ba00⋮ba+b∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=⎩⎪⎨⎪⎧(n+1)ana−ban+1−bn+!,a=b,else
对第1行展开得递推公式:
Dn=(a+b)Dn−1−abDn−2
则Hn=Dn−bDn−1=aHn−1
故{H_n}是公比为a的等比数列。