离散对数和BSGS算法

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离散对数：

考虑方程：a^x≡b(mod p)，其中a与p互质，求最小正整数x使得方程成立。
这样的x称为离散对数，可以写为log_ab(mod p)

BSGS算法：

a^x≡b(mod p)

设x=i*m-j，其中m=⌈√p⌉，则原方程变为：a^i*m-j≡b(mod p)

移项得：(a^m)ⁱ≡ba^j(mod p)

1.从0到(m-1)枚举j，把ba^j存入哈希表中

2.从1到m枚举i，查询(a^m)ⁱ是否在哈希表中，如果在则i*m-j就是最小答案。

其他：

1.为什么m取⌈√p⌉?
首先根据费马小定理可推出降幂式子：a^k%(p-1)≡a^k(mod p)，其中a与p互质
原式为a^x≡b(mod p)，即a^x%p=b%p，通过降幂式可转化为a^x%(p-1)%p=b%p
式子x%(p-1)，当x等于p-1的时候和x等于0的时候结果相同，p的时候和1的时候相同，
因此枚举x的话只需要枚举0到p-2，姑且当作枚举到p。
因此x=i*m-j<=p，令m=⌈√p⌉，那么i最大枚举⌈√p⌉，j最大枚举⌈√p⌉，这样每个枚举都是O(⌈√p⌉)，总复杂度也是O(⌈√p⌉)

2.对于不同的j，ba^j%p可能相同，当相同的时候，在哈希表中存大的j，因为要使得i*m-j尽可能小，则j要尽可能大。

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P3846 [TJOI2007]可爱的质数 (BSGS模板)

题意：

给定一个质数p，一个整数b，一个整数n，要求计算出一个最小的L，满足b^L≡n(mod p)
如果无解则输出no solution

思路：

BSGS模板

code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int bsgs(int a,int b,int p){
    //if(a%p==0)return -1;
    unordered_map<int,int>mark;
    int m=ceil(sqrt(p*1.0));
    int now=1;//(a^j)
    for(int j=0;j<=m-1;j++){
        int temp=b*now%p;//b*(a^j)
        mark[temp]=j;
        now=now*a%p;
    }
    int t=now;//a^m,直接用上面的结果now，这样就不用写快速幂了
    now=1;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        now=now*t%p;
        if(mark.count(now))return (i*m-mark[now]+p)%p;
    }
    return -1;
}
signed main(){
    int p,b,n;
    cin>>p>>b>>n;
    int ans=bsgs(b,n,p);
    if(ans!=-1){
        cout<<ans<<endl;
    }else{
        cout<<"no solution"<<endl;
    }
    return 0;
}

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