如何理解超平面？

超平面的公式

首先明確幾個定義：(1) 超平面是指n維線性空間中維度爲n-1的子空間。它可以把線性空間分割成不相交的兩部分。比如二維空間中，一條直線是一維的，它把平面分成了兩塊；三維空間中，一個平面是二維的，它把空間分成了兩塊。(2) 法向量是指垂直於超平面的向量。

在  空間中，假如有法向量，過原點的平面內任意原點出發的向量 x 必然與之滿足

                                                                           

。如果平面沿着法向量的方向上下平移了，那麼這個方程就不成立了。

我們假設平移之後平面經過 ，平面內任意一點記爲 ，法向量記爲 ，如下圖。

                                          

                                                                   平面公式示意圖

 

不難看出，在平面內，當然也就和法向量垂直。於是我們有：

                                                                     

                                                                                                     
化簡後得：

                                                。

即

                                                                       

。由於其爲常數項，令

                                                                       

，於是超平面的公式可以寫成：

                                                                       

這個結論同樣適用於  空間；

1. 無論超平面如何平移，係數始終是法向量 。

點到超平面的距離

                                       

                                                                        點到超平面距離

上圖中  是平面外的一點。我們要求的距離記爲  ，也就是紅色的線段。根據三角函數可以得到：

                                                                  

（空間中一點向超平面作垂線， 只能是銳角，不必擔心正負）。因爲 肯定和法向量平行，所以這樣來算夾角：

                                                                  

（因爲法向量可能反向，所以給等式左邊加上絕對值），聯立得：

                                                               
因爲 在超平面內，，於是最後得到的任意點到超平面的距離公式：

                                                               

作者：老壇酸菜君
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來源：簡書
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