HIT研究生算法作業4

1、答：
定義：$maxSum_i爲A[1,...i]連續子數組的最大和;sum_i爲當前連續子數組的和$，則有

遞推方程：

$sum_i = A[i] \qquad if \;i = 1\;或 \;sum_{i-1} < 0\\ sum_i = sum_{i-1} + A[i] \qquad if\; sum_{i-1} >=0\\ maxSum_i = A[i] \qquad if \; i = 1 \\ maxSum_i = Max(maxSum_{i-1}, sum_i)$

算法僞代碼：

• 輸入：$數組A[1,2....n]$
• 輸出：連續子數組的最大和

maxSubArray(A)
	maxSum <- A[1];
	sum <- A[1];
	for i <- 2 to n
		if sum < 0 Then
			sum <- A[i];
		else
			sum <- sum + A[i];
		maxSum = Max(maxSum, sum);
	return maxSum; 

時間複雜度分析：

• 輸入規模：$n$
• 複雜度：$O(n)$

2、答：
定義：$dp_i 爲爬到第i階臺階的方法數$，則有

遞推方程：

$dp_1 = 1 \quad dp_2 = 2\\ dp_i = dp_{i-1} + dp_{i-2}$

算法僞代碼：

• 輸入：臺階階數$n$
• 輸出：爬到$n$階的方法數

climbStairs(n)
	if n == 1 Then return 1;
	if n == 2 Then return 2;
	dp_i_1 <- 2;
	dp_i_2 <- 1;
	for i <- 3 to n
		dp_i <- dp_i_1 + dp_i_2;
		dp_i_2 = dp_i_1;
		dp_i_1 = dp_i;
	return dp_i;
		 

時間複雜度分析：

• 輸入規模：$\log{n}$
• 複雜度：$O(2^{\log{n}})$

3、答：
定義：$dp[i][j]記錄字符串S中s_is_{i+1}...s_j子串是否爲迴文的$，則有

遞推方程：

$dp[i][i] = True \\ dp[i][i + 1] = True \quad if \; s_i = s_{i+1} \\ dp[i][j] = True \quad if \; dp[i + 1][j - 1] = True 且 s_i = s_j$

算法僞代碼：

• 輸入：字符串$S$
• 輸出：最長迴文子串$S'$

longestPalindrome(S)
	n <- S.length;
	dp <- new boolean[n][n]
	start <- 1;
	maxL <- 1;
	if n <= 1 Then return S;
	for i <-1 to n
		dp[i][i] <- True;
	for i <-1 to n - 1
		if S[i] = S[i + 1] Then 
			dp[i][i + 1] <- True;
			start <- i;
			maxL <- 2;
	for gap <- 2 to n - 1
		for i <- 1 to n - gap - i
			j <- i + gap;
			if dp[i + 1][j - 1] && S[i] = S[j] Then
				dp[i][j] <- True;
				start <- i;
				maxL <- gap + 1;
	return S.subString(start, start + gap);

時間複雜度分析：

• 輸入規模：$n$
• 複雜度：$O(n^2)$

4、答：
定義：$dp[i][j] 記錄到達網格A第i行第j列，最短路徑$，則有

遞推方程：

$dp[i][j] = A[i][j] \quad if \; i = 1 且 j = 1\\ dp[i][j] = dp[i - 1][j] + A[i][j] \quad if \; j = 1 且 i >=2\\ dp[i][j] = dp[i][j - 1] + A[i][j] \quad if \; i = 1 且 j >= 2\\ dp[i][j] = Min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + A[i][j]$

算法僞代碼：

• 輸入：網格$A[1...m][1...n]$
• 輸出：到達網格第m行第n列的最短路徑

findPath(A, m, n)
	dp <- new int[m][n];
	dp[1][1] <- A[1][1];
	path <- new Stack()
	for i <- 2 to m
		dp[i][1] <- dp[i - 1][1] + A[i][1];
	for j <- 2 to n
		dp[1][j] <- dp[1][j - 1] + A[1][j];
	for i <- 2 to m
		for j <- 2 to n
			dp[i][j] <- Min(dp[i - 1][j],dp[i][j - 1]) + A[i][j];
	i <- m; j <- n;
	while i >= 1 && j >= 1
		d <- dp[i][j] - A[i][j]
		if i > 1 && dp[i - 1][j] == d Then
			path.push(DOWN);
		else
			path.push(RIGHT);
	return path;

時間複雜度分析：

• 輸入規模：$mn$
• 複雜度：$O(mn)$

5、答：
定義：$dp[i][j]爲i時刻j位置可以收到得最多餡餅數$

遞推方程：
$dp[i][j] = P[i][j] \quad if \; i = 1 且 j = 4, 5, 6\\ dp[i][j] = Max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j + 1]) + P[i][j]$

算法僞代碼：

• 輸入：$數組P，P[i][j]表示i時刻j位置落下得餡餅數$
• 輸出：可以獲得最多得餡餅數

getPie(P)
	t <- P.length;
	dp <- new int[13];
	dp[-1] <- 0; dp[11] <- 0; 
	dp[4] <- P[1][4];dp[5] <- P[1][5];dp[6] <- P[1][6];
	start <- 3;
	end <- 7;
	for i <- 2 to t
		start <- Max(--start, 0);
		end <- Min(++end, 10);
		for j <- start to end
			dp[j] <- Max(dp[j],dp[j - 1], dp[j + 1]) + P[i][j];
	return Max(dp);

時間複雜度分析：

• 輸入規模：$11n$
• 複雜度：$O(n)$