神之懵逼-爲什麼根號2是無理數？

我們在小學或者是初中，肯定很早就知道了，根號2是無理數。

但是總有某些硬漢總會與老師槓上一槓：“你怎麼就知道他算不完呢？”

等一下，你們看了那個師生對線系列了嗎，鶴吱菌他更新了！

咳咳，言歸正傳，怎麼證明根號2是無理數？

我們先假設根號2是有理數。

那麼

\[\sqrt{2} = \frac{q}{p}且(p, q) = 1 \]

我們知道有理數是一定可以表示爲p分之q的形式的。

那麼將式子變形我們可以得到

\[2 = \frac{p^{2}}{q^{2}} \\ 2q^{2} \quad =\quad p^{2}\\ 即p^{2} \quad mod \quad 2 = 0\\ p \quad mod \quad 2 = 0\\ 因爲p \quad mod \quad 2 = 0\\ 所以p^{2} \quad mod \quad 4 = 0\\ 將p^{2} \quad mod \quad 4 = 0 \quad 代入 \quad 2q^{2} = p^{2}\\ 得2q^{2} \quad mod 4 \quad = 0\\ q^{2} \quad mod \quad 2 = 0\\ q \quad mod \quad 2 = 0\\ 因爲q \quad mod \quad 2 = 0 \quad 且 \quad p \quad mod \quad 2 = 0\\ 所以p與q有公因數2，p與q不互質，即(p,q) \not= 1\\ 與(p, q) = 1產生矛盾，所以\sqrt{2} \not= \frac{q}{p},\sqrt{2}不爲有理數\\ 即\sqrt{2}爲無理數 \]

事實證明，根號2真的是無理數。