luogu 4917

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解法

首先觀察一下，可以發現對於a,b，正方形的邊長是lcm(a,b)。那麼買的地板的數量是$\frac{(a*b)}{gcd(a,b)^2}$
那麼對於一個n的答案就是：$ans=\prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^n \frac{i*j}{gcd(i,j)^2}$
因爲直接算看起來並不好算，所以考慮分成分子分母兩部分分別計算：
分子：$\prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^n i*j=(n!)^{2n}$
主要是分母：
$\prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^n gcd(i,j)^2$
現在可以計算$n*n$的矩陣中每種gcd的個數，然後算出來分母的具體值
直接枚舉$gcd(i,j)=d$，然後計算矩陣中有多少個位置的gcd=d,設爲cnt(d)
這裏需要知道一個矩陣中有多少個位置互質：
$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n [gcd(i,j)=1]$
考慮莫比烏斯反演
$=\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{n/d}\mu(d)$
$=\sum_{d=1}^n mu(d)*(n/d)^2$
設這個式子的值爲$S(d)$
這個式子可以整除分塊做到$o(\sqrt n)$
然後回頭計算每種gcd的個數：
$cnt(d)=S(n/d)$
計算分母：
$\prod_{d=1}^n d^{cnt(d)*2}$
$=\prod_{d=1}^n d^{S(n/d)*2}$
然後又可以對S(n/d)整除分塊

細節：$cnt(d)或者S(n/d)$出現在冪的位置，所以對mod-1取模，而不是mod

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn=1e6+5;
const int mod=19260817;
inline int read(){
	char c=getchar();int t=0,f=1;
	while((!isdigit(c))&&(c!=EOF)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while((isdigit(c))&&(c!=EOF)){t=(t<<3)+(t<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return t*f;
}
int t,n,s[maxn],rec[maxn];
int mu[maxn],vis[maxn],p[maxn],cnt;
inline int am1(int x){
	if(x<0)return x+mod-1;
	return x>=(mod-1)?x-(mod-1):x;
}
void get(){
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=1e6;i++){
		if(!vis[i]){
			mu[i]=-1;p[++cnt]=i;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=1e6;j++){
			mu[i*p[j]]=-mu[i];vis[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){
				mu[i*p[j]]=0;break;
			}
		}
	}
	for(int i=2;i<=1e6;i++)mu[i]=am1(mu[i]+mu[i-1]);
}
int inv[maxn];
inline int ksm(int a,int b){
	int ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;b>>=1;
	}
	return ans;
}
inline int mul(int l,int r){
	return rec[r]*inv[l-1]%mod*rec[r]%mod*inv[l-1]%mod;
}
inline int sum(int x){
	if(s[x])return s[x];
	int r,ans=0;
	for(int l=1;l<=x;l=r+1){
		r=(x/(x/l));
		ans=am1(ans+am1(mu[r]-mu[l-1])*(x/l)%(mod-1)*(x/l)%(mod-1));
	}
	s[x]=ans;
	return ans;
}
signed main(){
	t=read();
	rec[0]=1;inv[0]=1;
	for(int i=1;i<=1e6;i++)rec[i]=rec[i-1]*i%mod;
	inv[1000000]=ksm(rec[1000000],mod-2);
	for(int i=1e6-1;i>=1;i--)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
	get();
	while(t--){
		n=read();
		int r,ans=1;
		for(int l=1;l<=n;l=r+1){
			r=(n/(n/l));
			ans=1ll*ans*(ksm(mul(l,r),(sum(n/l))%(mod-1))%mod)%mod;
			//printf("%d %d %d %d\n",l,r,mul(l,r),sum(n/l));
		}
		printf("%lld\n",ksm(rec[n],(2*n)%(mod-1))*ksm(ans,mod-2)%mod);
	}
	return 0;
}