題意
給一個字符串S，求它所有子序列中不同非空迴文串的數量。字符串由 'a' 'b' 'c' 'd' 四個字母組成。
由於題目要求的是不同迴文串。 abba 的迴文串子序列爲 a，b，aba，abba 其中 aba 只能算一次。
最近做 區間DP 的題，習慣起手寫
for (int l = 0; l < n; l++) { for (int s = 0; s + l < n; s++) { int e = s + l; ..... } }
外層枚舉區間長度，內層枚舉區間起始位置。
設 dp[i][j] 表示 S[i...j] 子序列中包含的迴文串的數量。
解法1、枚舉迴文串第一個字母
設迴文串第一個字母是 a 則最後一個字母也要是 a 然後找到在區間 [s,t] 中第一個和最後一個 a 的位置 x 和 y ，則，首字母爲 a 的迴文串個數爲 dp[x-1][y+1]
因爲，如果使用的不是兩邊的 a 而是內部的 a 作爲邊界，能發現內部 a 做邊界組成的迴文串 兩邊的 a 做邊界時都組成。
最後再用兩邊的 a 組成 aa 以及 單個 a。當範圍內只存在一個 a 時，則能貢獻的子串只有 1 個。
很難受的是直接遞推超時了，遞歸才勉強能過。。。
class Solution { public: int countPalindromicSubsequences(string S) { // dp[i][j] 表示 s[i...j] 包含的子序列個數 int n = S.size(); vector<vector<int>> pos(4, vector<int>()); vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, 0)); for (int i = 0; i < n; i++) { pos[S[i] - 'a'].push_back(i); } return dfs(S, pos, dp, 0, n - 1); } int dfs(string &S, vector<vector<int>> &pos, vector<vector<int>> &dp, int s, int t) { if (s + 1 >= t) return t - s + 1; if (dp[s][t]) return dp[s][t]; int ans = 0; for (int i = 0; i < 4; i++) { if (pos[i].empty()) continue; auto first_pos = lower_bound(pos[i].begin(), pos[i].end(), s); auto end_pos = upper_bound(pos[i].begin(), pos[i].end(), t) - 1; if (first_pos == pos[i].end() || *first_pos > t) continue; int f = *first_pos, e = *end_pos; ans = (ans + 1) % 1000000007; if (f != e) ans = (ans + 1) % 1000000007; if (f + 1 < e) { ans = (ans + dfs(S, pos, dp, f + 1, e - 1)) % 1000000007; } } return dp[s][t] = ans; } };
求 S[s..e] 的迴文串數
當 S[s] != S[e] 時，可得公式
dp[s][e] = dp[s+1][e] + dp[s][e-1] - dp[s+1][e-1];
即 （包含s + 兩邊都不含的） 和 （包含e+ 兩邊都不含的）- 兩邊都不含的
當 S[s] == S[e] 時 還用上面的公式會出現重複。
比如 aaa ，計算 dp[0][2] 時 ，dp[0][1] 包含 (aa) 和 dp[1][2] 包含的 aa 重複但是沒有被減去。
而如果想要減去重複部分，就要找到和邊界位置相同的字母。假設邊界字母是 a，
當沒有和邊界位置相同的字母， dp[s][e] = dp[s+1][e-1]（兩邊都不含的）+ dp[s+1][e-1]（兩邊都不含的 + 兩邊的字母）+ 1 （兩邊的字母組成 aa） + 1 （單個首字母 a）
當存在和邊界位置相同的字母，且只有一個，dp[s][e] = dp[s+1][e-1]（兩邊都不含的）+ dp[s+1][e-1]（兩邊都不含的 + 兩邊的字母）+ 1 （兩邊的字母組成 aa）
當存在和邊界位置相同的字母，且有多個（2個及以上） 中間的組成的，可能會和中間的a加上邊界之後重複，比如 a(aaa)a 中間組成a aa aaa 加上兩邊的a 就變成了 aaa aaaa aaaaa 那麼 aaa就重複計算了，找到除了邊界的兩個a，最外層的兩個a，設位置是 low 和 high 那麼，dp[low+1][high-1] 中所有子序列和low high 組成的迴文串與和s e 組成的迴文串都會重複。所以要減去dp[low+1][high-1]。dp[s][e] = dp[s+1][e-1] * 2 - dp[low + 1][high - 1];
其實我也不是很懂。。。。瞎寫的。。。真的好難啊。。。。
class Solution { public: int countPalindromicSubsequences(string S) { int n = S.size(); int dp[n][n]; int mod = 1e9 + 7; for (int l = 0; l < n; l++) { for (int s = 0; s + l < n; s++) { int e = s + l; if (l <= 1) { dp[s][e] = l + 1; } else if (S[s] == S[e]) { int low = s + 1, high = e - 1; // 尋找最近的和 S[s]（S[e]） 相同的字母的位置 while (low <= high && S[low] != S[e]) low++; while (high >= low && S[high] != S[e]) high--; if (low > high) dp[s][e] = dp[s+1][e-1] * 2 + 2; else if (low == high) dp[s][e] = dp[s+1][e-1] * 2 + 1; else dp[s][e] = dp[s+1][e-1] * 2 - (low + 1 < high ? dp[low + 1][high - 1] : 0); } else { dp[s][e] = dp[s+1][e] + dp[s][e-1] - dp[s+1][e-1]; } dp[s][e] = (dp[s][e] % mod + mod) % mod; } } return dp[0][n - 1]; } };