用Python實現命題邏輯歸結推理系統--人工智能

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歸結演繹推理

推理方式：

歸結演繹推理 定理：

謂詞公式化爲子句集

常出現的名詞：

• 原子謂詞公式：一個不能再分解的命題
• 文字：原子謂詞公式及其否定
  • 正文字：P
  • 負文字：~P
  • 正文字、負文字互補
• 子句：任何文字的析取式。（任何文字本身也是子句）
• 空子句（NIL）：不包含任何文字的子句
  • 空子句是永假的，不可滿足的
• 子句集：由子句構成的集合

用一個例子來說明一下謂詞公式化爲子句集的過程

[例]

• 第一步：消去謂詞公式中的“$\rightarrow$” 和 “$\Leftrightarrow$” 符號

  • 公式：
  • [例]

• 第二步：把否定符號 “~” 移到緊靠謂詞的位置上

  • 公式：
  • [例]

• 第三步：變量標準化

  • 公式：
  • [例]

• 第四步：消去存在量詞

  • 若存在量詞不出現在全稱量詞的轄域內（很簡單，用一個個體表示即可）
  • 若存在量詞出現在一個或多個全稱量詞的轄域內（存在量詞 y 的Skolem函數爲 y = f(x₁, x₂, …, x_n)，需要用Skolem函數代替每個存在量詞量化的變量的過程)
  • Skolem函數表示約束，但不關係約束是什麼
  • [例]

• 第五步：化爲前束形

  • 前束形 = （前綴）{母式}
  • 前綴：全稱量詞
  • 母式：不含量詞的謂詞公式
  • [例] 已經是前束形

• 第六步：化爲Skolem標準化

  • 子句的合取式，稱爲Skolem標準形的母式
  • 公式：
  • [例]

• 第七步：略去全稱量詞

  • [例]

• 第八步：消去合取詞

  • [例]

• 第九步：子句變量標準化

  • 即不同的子句用不同的變元
  • [例]

魯濱遜歸結原理（消解原理）

子句集中子句之間是合取關係，只要有一個子句不可滿足，則子句集就不可滿足

基本思想：

• 檢查子句集S中是否包含空子句
• 若包含，則S不可滿足
• 若不包含，在S中選擇合適的子句進行歸結
• 若歸結出空子句，就說明S是不可滿足的

1. 命題邏輯中的歸結原理（基子句的歸結）

• C₁₂ 是 C₁ 和 C₂ 的 歸結式
• C₁、C₂ 是 C₁₂ 的 親本子句

歸結式：從親本子句中去掉一對互補文字後，剩餘的兩個部分的析取範式

2. 謂詞邏輯中的歸結原理（含有變量的子句的歸結）

證明過程較爲複雜，簡單來說：函數名相同，雖然變量名不同，可直接看作互補文字

歸結反演

1. 將已知前提表示爲謂詞公式F
2. 將待證明的結論表示爲謂詞公式Q，並否定得到~Q
3. 把謂詞公式集{F, ~Q} 化爲子句集
4. 應用歸結原理對子句集S中的子句進行歸結，並把每次歸結得到的歸結式都併入到S中，如此反覆，若出現了空子句，則停止歸結，此時證明了Q爲真

已知命題公式集 s，求證 r

第一步，將每個命題化爲子句形式：

第二步，用文本文件保存的形式爲：
p
～p ∨ ～q ∨ r
～u ∨ q
～t ∨ q
t
~ r

第三步，歸結：

這就是一階命題邏輯語言中一個簡單的歸結證明

題目及代碼

設給定的已知條件爲公式集F，要從F求證的命題爲G，進行命題演算的歸結步驟爲：

1. 將公式集F中的所有命題改寫成子句。
2. 將命題～G改寫成一個子句或多個子句。
3. 將 1、2 所得到的子句合併成子句集S，放到一個文本文件中。（以上爲手工完成）

編寫程序完成以下功能：

1. 讀入以上文本文件
2. 以適當的形式保存爲子句集。
3. 在出現一個矛盾或無任何進展（得不到新子句）之前執行：
   • 從子句集中選一對親本子句（兩個子句分別包含某個文字的正文字，另外一個包含負文字）
   • 將親本子句對歸結成一個歸結式；
   • 若歸結式爲非空子句，將其加入子句集；若歸結式爲空子句，則歸結結束。

子句集S存入文本文件

p
～p ∨ ～q ∨ r  
～u ∨ q   
～t ∨ q
t
～r

S = [] # 以列表形式存儲子句集S


"""
讀取子句集文件中子句，並存放在S列表中
    - 每個子句也是以列表形式存儲
    - 以析取式分割
    - 例如：～p ∨ ～q ∨ r 存儲形式爲 ['～p', '～q', 'r']
"""
def readClauseSet(filePath):
    global S
    for line in open(filePath, mode = 'r', encoding = 'utf-8'):
        line = line.replace(' ', '').strip()
        line = line.split('∨')
        S.append(line)


"""
- 爲正文字，則返回其負文字
- 爲負文字，則返回其正文字
"""
def opposite(clause):
    if '～' in clause:
        return clause.replace('～', '')
    else:
        return '～' + clause


"""
歸結
"""
def resolution():
    global S
    end = False
    while True:
        if end: break
        father = S.pop()
        for i in father[:]:
            if end: break
            for mother in S[:]:
                if end: break
                j = list(filter(lambda x: x == opposite(i), mother))
                if j == []:
                    continue
                else:
                    print('\n親本子句：' + ' ∨ '.join(father) + ' 和 ' + ' ∨ '.join(mother))
                    father.remove(i)
                    mother.remove(j[0])
                    if(father == [] and mother == []):
                        print('歸結式：NIL')
                        end = True
                    elif father == []:
                        print('歸結式：' + ' ∨ '.join(mother))
                    elif mother == []:
                        print('歸結式：' + ' ∨ '.join(mother))
                    else:
                        print('歸結式：' + ' ∨ '.join(father) + ' ∨ ' + ' ∨ '.join(mother))
                   

def ui():
    print('----')
    print('--------命題邏輯歸結推理系統--------')
    print('----')


def main():
    filePath = r'命題邏輯歸結推理系統/S.txt'
    readClauseSet(filePath)
    ui()
    resolution()


if __name__ == '__main__':
    main()

很遺憾，我寫的代碼暫時只能實現命題邏輯歸結推理系統，

對於謂詞邏輯歸結推理，以後有時間再完善代碼

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