Week6--作業 -- C -- 掌握魔法の東東 I[生成樹]

題目描述

東東在老家農村無聊，想種田。農田有 n 塊，編號從 1~n。種田要灌氵
衆所周知東東是一個魔法師，他可以消耗一定的 MP 在一塊田上施展魔法，使得黃河之水天上來。他也可以消耗一定的 MP 在兩塊田的渠上建立傳送門，使得這塊田引用那塊有水的田的水。 (1<=n<=3e2)
黃河之水天上來的消耗是 Wi，i 是農田編號 (1<=Wi<=1e5)
建立傳送門的消耗是 Pij，i、j 是農田編號 (1<= Pij <=1e5, Pij = Pji, Pii =0)
東東爲所有的田灌氵的最小消耗

輸入

第1行：一個數n
第2行到第n+1行：數wi
第n+2行到第2n+1行：矩陣即pij矩陣

輸出

第1行：一個數n
第2行到第n+1行：數wi
第n+2行到第2n+1行：矩陣即pij矩陣

樣例輸入

4
5
4
4
3
0 2 2 2
2 0 3 3
2 3 0 4
2 3 4 0

樣例輸出

9

思路

綜述

這道題主要考察了一個新的算法：Kruskal
參考：圖論、並查集。

Kruskal

Step1：
邊集排序

	std::sort(e, e + tot, cmp);

Step2：
從最小的開始遍歷邊集；
如果頂點個數集爲n，退出；

		if (unit(e[i].u, e[i].v)) {
			total += e[i].w;
			num++;
			if (num == n)break;
		}

本題

所有的農田看成點，連接之間有邊，天空看做一個點，該點與所有的農田點都有邊相連。所以該題就成了n+1個點的最小生成樹問題；

過程

Step1:輸入

注意一點，如果輸入爲0則不加入到邊集內
輸入超級源點

		if (w != 0) {
			term.u = n;
			term.v = i;
			term.w = w;
			e[tot] = term;
			tot++;
		}

輸入農田點
注意一點：因爲這是無向圖，所以只需要記錄一半即可；
可以這樣處理：只記錄(i,j)中，i>j的情況；

	for (int i = 0; i < n; i++) {
		for (int j = 0; j < n; j++) {
			cin >> w;
			if (i < j)continue;
			if (w == 0)continue;
			term.u = i;
			term.v = j;
			term.w = w;
			e[tot] = term;
			tot++;
		}
	}

Step2:跑Kruskal

具體過程見上面

int kruskal() {
	std::sort(e, e + tot, cmp);
	int total = 0;
	int num = 0;
	for (int i = 0; i < tot; i++) {
		if (unit(e[i].u, e[i].v)) {
			total += e[i].w;
			num++;
			if (num == n)break;
		}
	}
	return total;
}	

總結

Kruskal算法用到兩個知識：並查集和Kruskal算法本身；
圖論的問題，常常需要我們從長長的文字中抽象出圖，然後再根據所學解決問題；

代碼

上文有詳細註釋

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 5;
int n;
int tot = 0;
struct Edge {
	int u, v, w;
	bool operator < (Edge& t) {
		return w < t.w;
	}
}e[maxn];
int par[maxn];
Edge term;
void init() {
	for (int i = 0; i < maxn; i++) {
		par[i] = i;
	}
}
int find(int x) {
	if (par[x] == x)return x;
	else return par[x] = find(par[x]);
}
bool unit(int ax, int ay) {
	int x = find(ax);
	int y = find(ay);
	if (x == y)return false;
	par[x] = par[y];
	return true;
}
bool cmp(Edge a, Edge b) { return a.w < b.w; }
int kruskal() {
	std::sort(e, e + tot, cmp);
	int total = 0;
	int num = 0;
	for (int i = 0; i < tot; i++) {
		if (unit(e[i].u, e[i].v)) {
			total += e[i].w;
			num++;
			if (num == n)break;
		}
	}
	return total;
}

int main() {
	cin >> n;
	int w;
	init();
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> w;
		if (w != 0) {
			term.u = n;
			term.v = i;
			term.w = w;
			e[tot] = term;
			tot++;
		}
	}
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		for (int j = 0; j < n; j++) {
			cin >> w;
			if (i < j)continue;
			if (w == 0)continue;
			term.u = i;
			term.v = j;
			term.w = w;
			e[tot] = term;
			tot++;
		}
	}
	cout << kruskal() << endl;
}