數據結構（15.2）樹與二叉樹

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前言

樹形結構是非線性數據結構的一種，在現實生活中有着廣泛應用。其中，又以二叉樹的應用最爲常見。

二叉樹是樹型結構的一種，它規定每個結點至多隻有兩個子樹，並且子樹有左右之分，不能調換次序。

這意味着，二叉樹只有五種基本的形態。

具體的概念和性質就不詳細說了，下面說二叉樹的存儲結構。

二叉樹的存儲結構

如果使用順序存儲結構來存儲二叉樹，首先要約定存儲順序是從上至下、從左至右來存儲每一個結點。假如結點不存在，則用特殊的標記（如0），來表示。

可以發現，結點即使不存在，也需要耗費空間去記錄這個“不存在”的狀態。很顯然順序存儲結構在存儲完全二叉樹時纔有比較好的性能；拿來存儲一般的二叉樹則容易造成空間上的浪費。因此通常使用鏈式存儲結構來存儲二叉樹。

又到了熟悉的問題：結點如何設計？同往常的鏈式存儲一樣，結點包括了數據域和指針域兩個部分。不同的是，指針域有兩個指針，分別指向左右孩子結點。

//結點
typedef struct BinTreeNode{
    //數據域
    ElemType data;
    //左孩子
    struct BinTreeNode *leftChild;
    //右孩子
    struct BinTreeNode *rightChild;
}BinTreeNode;

對整棵二叉樹來說，記錄了根結點，就能找到所有的結點。因此，整棵樹的結構裏，只需要記錄一個根結點就可以了。

但是，我們需要通過輸入字符串來生成一棵二叉樹，要有一個特殊的標記值來表示結點不存在，以便生成正確的二叉樹。因此，表示整個二叉樹的結點，除了要記錄根結點以外，還要記錄標記值。

//整棵樹
typedef struct BinTree{
    //根結點
    BinTreeNode *root;
    //停止的標記
    ElemType refvalue;
}BinTree;

二叉樹的初始化

初始化二叉樹，就是將根結點初始化爲空，同時設置結束標記（結束標記由用戶設置，在參數中傳入）

//初始化二叉樹
void InitBinTree(BinTree *bt, ElemType ref){
    //將樹根設置爲空
    bt->root = NULL;
    //設置結束標記
    bt->refvalue = ref;
}

二叉樹的創建

這裏講的是將輸入的二叉樹字符串用二叉樹進行存儲。爲了表示左右子樹爲空，還需要特殊的標記值來標記，這樣才能生成一個正確的二叉樹。

輸入的字符串是先序序列，那麼創建結點的順序自然是：創建根結點->創建左子樹->創建右子樹。

也就是說，讀取輸入的字符，若是結束標記，則指針域爲空，退出創建；否則創建結點、保存數據，再遞歸創建左右子樹即可

//輸入的字符串：ABC##DE##F##G#H##
void CreateBinTree(BinTree *bt, BinTreeNode **t){
    ElemType item;
    scanf("%c",&item);
    
    if (item == bt->refvalue) {
        (*t) = NULL;
    }else{
        //創建結點
        (*t) = (BinTreeNode *)malloc(sizeof(BinTreeNode));
        assert((*t) != NULL);
        
        (*t)->data = item;
        CreateBinTree(bt, &(*t)->leftChild);
        CreateBinTree(bt, &(*t)->rightChild);
    }
}

二叉樹的遍歷

二叉樹的遍歷在上篇文章中寫得很詳細了，見數據結構（15.1）二叉樹的遍歷及其七種實現方式

二叉樹的恢復

二叉樹的恢復指的是，已知二叉樹的先序遍歷和中序遍歷，或者中序遍歷和後序遍歷，將它恢復成一棵完整的二叉樹。也就是給定兩個已知序列的字符串，創建出一個二叉樹。

注：必須有一個序列是中序序列，否則是無法恢復的。

已知先序遍歷和中序遍歷

先看已知先序遍歷和中序遍歷序列的情況。

中序遍歷的順序是，先訪問左子樹，再訪問根結點，最後訪問右子樹。因此在中序序列中，位於根結點字符左邊的所有字符，在樹中也一定在根結點左側；位於根結點字符右邊的所有字符，在樹中也一定在根結點右側。

而通過先序序列，我們正好可以得到根結點，然後利用中序序列劃分出結點的左側子樹和右側子樹。一個結點一個結點進行劃分，最終就可以恢復整棵樹。

在先序序列中讀取到根結點 A，在中序序列中找到A所在的位置，可以看出A的左側子樹和右側子樹
在先序序列中讀取到結點B，在中序序列中發現它在A的左側，可得B爲A的左子樹。同時，B也是根結點，通過中序序列可以看出B的左側子樹和右側子樹。
在先序序列中讀取到結點C，在中序序列中發現它在B的左側，可得C爲B的左子樹。同時，C也是根結點，但是在中序序列中它左右側都沒有未確定的字符了，因此左右子樹爲空。

在先序序列中讀取到結點D，在中序序列中發現它在B的右側，可得D爲B的右子樹。同時，D也是根結點，通過中序序列可以看出D的左側子樹和右側子樹。（雖然D也在A的左側，但是A的左子樹已經是B了，以下同理）
在先序序列中讀取到結點E，在中序序列中發現它在D的左側，可得E爲D的左子樹。同時，E也是根結點，但是在中序序列中它左右側都沒有未確定的字符了，因此左右子樹爲空。
在先序序列中讀取到結點F，在中序序列中發現它在D的右側，可得F爲D的右子樹。同時，D也是根結點，但是在中序序列中它左右側都沒有未確定的字符了，因此左右子樹爲空。

在先序序列中讀取到結點G，在中序序列中發現它在A的右側，可得G爲A的右子樹。同時，G也是根結點，通過中序序列可以看出G的左側子樹（空）和右側子樹。
在先序序列中讀取到結點H，在中序序列中發現它在G的右側，可得H爲G的右子樹。同時，H也是根結點，但是在中序序列中它左右側都沒有未確定的字符了，因此左右子樹爲空。

已知後序遍歷和中序遍歷

通過後序遍歷，我們也能得到根結點，然後同樣利用中序序列劃分出結點的左側子樹和右側子樹，最終也可以恢復整棵樹。

在後序序列中讀取到根結點 A，在中序序列中找到A所在的位置，可以看出A的左側子樹和右側子樹。
在後序序列中讀取到結點G，在中序序列中發現它在A的右側，可得G爲A的右子樹。同時，G也是根結點，通過中序序列可以看出G的左側子樹（空）和右側子樹。
在後序序列中讀取到結點H，在中序序列中發現它在G的右側，可得H爲G的右子樹。同時，H也是根結點，但是在中序序列中它左右側都沒有未確定的字符了，因此左右子樹爲空。

4. 在後序序列中讀取到結點B，在中序序列中發現它在A的左側，可得B爲A的左子樹。同時，B也是根結點，通過中序序列可以看出B的左側子樹和右側子樹。

在後序序列中讀取到結點D，在中序序列中發現它在B的右側，可得D爲B的右子樹。同時，D也是根結點，通過中序序列可以看出D的左側子樹和右側子樹。

在後序序列中讀取到結點F，在中序序列中發現它在D的右側，可得F爲D的右子樹。同時，D也是根結點，但是在中序序列中它左右側都沒有未確定的字符了，因此左右子樹爲空。
在後序序列中讀取到結點E，在中序序列中發現它在D的左側，可得E爲D的左子樹。同時，E也是根結點，但是在中序序列中它左右側都沒有未確定的字符了，因此左右子樹爲空。
在後序序列中讀取到結點C，在中序序列中發現它在B的左側，可得C爲B的左子樹。同時，C也是根結點，但是在中序序列中它左右側都沒有未確定的字符了，因此左右子樹爲空。

注

通過以上的情況，不難想到爲什麼沒有中序序列將無法恢復整棵樹：我們需要靠中序序列判斷結點是屬於左子樹還是右子樹，只有先序序列和後序序列是無法判斷的。

例如，已知先序序列ABC，和後序序列CBA，雖然可以判斷根結點A，但是無法判斷BC哪個是左子樹哪個是右子樹，可能會有如下狀況：

全部代碼

這部分代碼比較多，還在整理中，整理完了上傳。

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