莫比烏斯容斥 筆記

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算法講解

（本篇文章假設您學過莫比烏斯反演 (〃‘▽’〃)

我們知道莫比烏斯函數有一個性質： $\sum\limits_{d|n} \mu(d)=[n=1]$

根據這條性質，我們寫出一個類似篩的東西：一個數組，初始都是 $0$。 第 $i$ 輪，將 $i$ 的倍數都加上 $\mu(i)$。

$n$ 輪之後，顯然只有第一個位置還剩一個 $1$，其它都變成了 $0$。好好理解下這個表，然後往下看。

那麼，假設現在我們要求 $n=1$ 時的答案，但是我們方便求的只有 $n$ 的倍數的答案和，如何轉化捏 （⊙.⊙）

我們設 $f(x)$ 表示 $n$ 恰好爲 $x$ 的答案，$F(x)$ 表示 $n$ 爲 $x$ 的倍數的答案和，即 $\sum\limits_{d|n} f(n)$。

考慮 $\sum\limits_{i=1}^{n} \mu(i)F(i)$，

它 $=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{i|j} \mu(i)f(j)$

考慮每個 $f(i)$ 被算了多少次，變爲：

$\sum\limits_{j=1}^{n} f(j) \sum\limits_{i|j} \mu(i)=\sum\limits_{j=1}^{n} f(j) [j=1]=f(1)$

$f(1)$ 不就是我們要求的，$n$ 恰好爲 $1$ 的方案嗎(✪ω✪)

所以，莫比烏斯容斥的解題步驟：

1. 轉化成 $n=1$ 的方案（一般這步比較考思維）
2. 求 $n$ 的倍數的方案和

說這些有點抽象，還是做點題☆daze~

起飛~

T1. CF 439E

給定 $q$ 個詢問，每次給定 $n,k$ ，問有多少種方法，把 $n$ 分成 $k$ 個數相加，並且 所有數 的 $\gcd$ 爲 $1$（即：允許有部分的 $\gcd$ 不爲 $1$ ，比如 $n=20,k=3$ 時，$\{2,3,15\}$ 是合法的一組拆分）

$q,n\le 10^5,k\le n$

題解

如何轉化成上面的 “$n=1$ 的方案數” 呢

設 $f(i)$ 表示：$k$ 個數的 $\gcd=i$ 的方案數，$F(i)$ 表示：$k$ 個數的 $\gcd$ 爲 $i$ 的倍數的方案數（即：$k$ 個數都是 $i$ 的倍數的方案數）

$F(i)$ 好求。顯然，此時 $i$ 是 $n$ 的因數（$k$ 個數都是 $i$ 的倍數，所以它們加起來， $n$ 也是 $i$ 的倍數）。如果不是，那麼 $F(i)=0$

然後所有數都是 $i$ 的倍數的劃分方案，我們可以把 $i$ 個數併成一塊，然後有 $n/i$ 個塊，任意劃分成 $k$ 個部分，求方案數。然後我們在 $n/i$ 個塊中間插入 $n/i-1$ 個隔板，選擇 $k-1$ 個，就能把 $n$ 個數分成 $k$ 個部分，每個部分都是 $i$ 的倍數了。這樣方案數是 $F(i)=C_{n/i-1}^{k-1}$。預處理階乘和階乘逆元，這個 $O(1)$ 算。

然後根據莫比烏斯容斥的式子，$f(1)=\sum\limits_{i=1}^{n} F(i)$。然後在這題中要變下型 （看上面），因爲 $i|n$ 時，$F(i)$ 才能按照上面的方法算，否則 $F(i)=0$。於是， $f(1)=\sum\limits_{i|n} F(i)$

然後這個枚舉因數是 $O(\sqrt{n})$ 的。總的複雜度 $O(q\sqrt{n})$，能過。

代碼 （篇幅問題，我就不放主頁了(*^▽*)）（代碼看不懂的右下角聯繫我，或者在代碼那邊的評論區留言~~❤）

T2. CF 900D

同樣是求劃分的問題。相當於在 $T1$ 的基礎上：

1. 去掉 $k$ 的限制
2. 一組詢問，範圍改成 $n\le 10^9$，答案模 $10^9+7$
3. 給定了參數 $y$，劃分完所有數的 $\gcd=y$ （而不是等於 $1$）

題解

所有數 $\gcd=y$，相當於所有數除以 $y$ 之後 $\gcd=1$。

然後沒有了 $k$ 的限制，相當於所有的隔板隨便選/不選。這咋整捏 ⊙(・◇・)？

假設有 $n$ 個隔板，答案爲 $2^{n}$。然後，$n$ 個數不限個數劃分，每個數都是 $y$ 的倍數，方案數就是 $2^{n/y-1}$。

然後要注意的是，$n\le 10^9$，只有一部分 $\mu$ 可以篩出來，超過範圍的就只好暴力算了。

這個時間複雜度有點玄學…但還是能過的 φ(>ω<*)

代碼

T3. CF1036F

$T$ 組詢問，每次詢問 $[2,n]$ 中有多少好數。一個數 $x$ 是“好數”，那麼不存在任何一個 $k$ 使得 $\sqrt[k]{x}$ 是整數。

$T\le 10^5,x\le 10^{18}$。

題解

一個數是“好數”，那麼它分解質因數後，所有指數的 $\gcd=1$

然後我們考慮所有指數的 $\gcd$ 是 $k$ 的倍數怎麼算。很顯然，這個方案數就是 $\lfloor \sqrt[k]{x} \rfloor$ 。

然後 $k$ 大概枚舉到 $60,70$ 就夠了。

然後卡億點點常數就過了 o(╥﹏╥)o

代碼

結語

如果您認真的看完並理解了我上面的瞎扯…

恭喜您！學會了莫比烏斯反演！φ(>ω<*)

完結撒花花~~~