洛谷 5242 [USACO19FEB]Cow Dating P 題解

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題意簡述

Bessie要找 $n$ 頭奶牛約會，第 $i$ 頭奶牛同意的概率是 $\dfrac{p_i}{10^6}$。Bessie 會對一個連續區間的所有奶牛邀請約會，但是她只希望恰好一個同意來約會。請求出所有區間中，恰好只有一個奶牛同意約會的概率的最大值。輸出這個最大的概率乘以 $10^6$ 後下取整的結果。

$n<=10^6$，$0<=p_i<=10^6$。

思路框架

設 $a_i=1-p_i$，$b_i=\dfrac{p_i}{1-p_i}$。

一段區間 $[l,r]$ 中只有恰好一個奶牛同意邀請的概率爲： 設 $A=\prod\limits_{i=l}^{r} (1-p_i)=\prod\limits_{i=l}^{r} a_i$，那麼這個概率爲 $\sum\limits_{i=l}^{r}p_i\times \dfrac{A}{1-p_i}=A\times \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{p_i}{1-p_i}=A\times B$
（設 $B=\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{p_i}{1-p_i}$）

證明一下單調性，就珂以 $O(n)$ 做了。

具體思路

我們考慮從 $[l,r]$ 變成 $[l,r+1]$ 會怎麼樣。

$[l,r]$ 的答案是 $A\times B$。

而 $[l,r]$ 變成 $[l,r+1]$ 的時候，$A$ 新乘了一個 $a_{r+1}$ ，$B$ 新加了一個 $b_{r+1}$。答案變成：

$A\times a_{r+1}\times (B+b_{r+1})=A\times (a_{r+1}B+a_{r+1}b_{r+1})=A\times (a_{r+1}B+p_{r+1})$

假設這個答案比 $[l,r]$ 的答案優，那麼 $a_{r+1}B+p_{r+1}>B$

簡單移項發現： $B<1$

那麼對於每個 $l$ ，我們找到一個最大的 $r$ 滿足 $B_{l,r}=\sum\limits_{i=l}^{r} b_i<1$，那麼 $[l,r+1]$ 就是以 $l$ 爲左端點的最優解了。而隨着 $l$ 的增大，$B$ 值顯然會減小，那麼 $r$ 就會不斷往右移（或者不變）。這就是單調性，利用這單調性，珂以輕鬆的 $O(n)$ 求解。

代碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
	#define N 1666666
	#define real double
	#define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
	#define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
	#define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
	#define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
	#define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
	#define FK(x) MEM(x,0)
	#define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),__v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),__v=G.To(i))
	#define p_b push_back
	#define sz(a) ((int)a.size())
	#define iter(a,p) (a.begin()+p)
	void R1(int &x)
	{
	    x=0;char c=getchar();int f=1;
	    while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
	    while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	    x=(f==1)?x:-x;
	}
	void Rd(int cnt,...)
	{
	    va_list args;
	    va_start(args,cnt);
	    F(i,1,cnt) 
	    {
	        int* x=va_arg(args,int*);R1(*x);
	    }
	    va_end(args);
	}

	int n;
	real p[N];
	void Input()
	{
		R1(n);
		F(i,1,n) {scanf("%lf",&p[i]); p[i]/=1e6;}
	}

	real a[N],b[N];
	void Soviet()
	{
		F(i,1,n) a[i]=1.0-p[i],b[i]=p[i]/(1.0-p[i]);
       //計算出a,b
		int p=0;
       //p維護滿足條件的最大的r值
		real A=1.0,B=0.0;
       //一定注意！A的初始值爲1！
		real ans=0.0;
		F(i,1,n)
		{
			while(p<n and B<1.0) ++p,A*=a[p],B+=b[p];
           //此時p是最大的滿足B<1的值+1
			ans=max(ans,A*B);
          //那麼A*B就是以i爲左端點的最優解了
			
			A/=a[i]; B-=b[i];
		}
		printf("%d\n",(int)(ans*1e6));
	}

	#define Flan void
	Flan IsMyWife()
	{
		Input();
		Soviet();
	}
}
int main()
{
	Flandre_Scarlet::IsMyWife();
	getchar();getchar();
	return 0;
}