什麼是抽樣平均誤差？

原創

2020-04-22 14:29

什麼是抽樣平均誤差？

抽樣平均誤差是抽樣平均數（或抽樣成數）的標準差，它反映抽樣平均數（或抽樣成數）與總體平均數（或總體成數）的平均差異程度。

由於從一個總體可能抽取多個樣本，因此抽樣指標（如平均數、抽樣成數等），就有多個不同的數值，因而對全局指標（如總體平均數、總體成數等）的離差也就有大有小，這就必需用一個指標來衡量抽樣誤差的一般水平。

抽樣平均數（或抽樣成數）的標準差實際上反映了抽樣平均數（或抽樣成數）與總體平均數（或總體成數）的平均差異程度。

樣本平均數的平均誤差

以 $\mu _{x}$ 表示樣本平均數的平均誤差， $\sigma$ 表示總體的標準差。根據定義：

　　 $\mu_x^2=E(\bar{x}-\bar{X})^2$

當抽樣方式爲重複抽樣時，樣本標誌值 $x_1,x_2,\cdots x_n$ 是相互獨立的，樣本變量x與總體變量X同分布。所以得：

　　 $\mu_x^2=\frac{\sigma^2}{n}$ 　　　　（1）

　　它說明在重複抽樣的條件下，抽樣平均誤差與總體標準差成正比，與樣本容量的平方根成反比。

例1: 有5個工人的日產量分別爲（單位：件）：6，8，10，12，14，用重複抽樣的方法，從中隨機抽取2個工人的日產量，用以代表這5個工人的總體水平。則抽樣平均誤差爲多少？

解：根據題意可得： $\bar{X}=\frac{6+8+10+12+14}{5}=10$ (件)

總體標準差 $\sigma=\frac{\sqrt{\sum(X-\bar{X})_2}}{\sqrt{N}}=\frac{\sqrt{40}}{sqrt{5}}=\sqrt{8}$ (件)

抽樣平均誤差 $\mu_x=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=2$ (件)

當抽樣方式爲不重複抽樣時，樣本標誌值 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 不是相互獨立的，根據數理統計知識可知：

　　 $\mu_x=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})}$ 　　　　（2）

　　當總體單位數N很大時，這個公式可近似表示爲：

　　 $\mu_x=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}(1-\frac{n}{N})}$ 　　　　（3）

　　與重複抽樣相比，不重複抽樣平均誤差是在重複抽樣平均誤差的基礎上，再乘以 $\sqrt{(N-n)/(N-1)}$ ，而 $\sqrt{(N-n)/(N-1)}$ 總是小於1，所以不重複抽樣的平均誤差也總是小於重複抽樣的平均誤差。如前例，若改用不重複抽樣方法，則抽樣平均誤差爲：

　　 $\mu_x=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})}=\sqrt{\frac{8}{2}(\frac{5-2}{5-1})}=1.732$ (件)

　　在計算抽樣平均誤差時，通常得不到總體標準差的數值，一般可以用樣本標準差來代替總體標準差。

抽樣成數的平均誤差

總體成數P可以表現爲總體是非標誌的平均數。即E(X)＝P，它的標準差 $\sigma=\sqrt{P(1-P)}$ 。

根據樣本平均誤差和總體標準差的關係，可以得到樣本成數的平均誤差的計算公式。

1、在重複抽樣下

　　 $\mu_p=\sigma/\sqrt{n}=\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}}$ 　　　　（4）

2、在不重複抽樣下

　　 $\mu_p=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})}=\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}(\frac{N-n}{N-1})}$ 　　　　（5）

　　當總體單位數N很大時，可近似地寫成：

　　 $\mu_p=\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}(1-\frac{n}{N})}$ 　　　　（6）

　　當總體成數未知時，可以用樣本成數來代替。

例2：某企業生產的產品，按正常生產經驗，合格率爲90%，現從5000件產品中抽取50件進行檢驗，求合格率的抽樣平均誤差。

解：根據題意，在重複抽樣條件下，合格率的抽樣平均誤差爲：

　　 $\mu_p=\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}}=\sqrt{\frac{0.9\times 0.1}{50}}$

　　在不重複抽樣條件下，合格率的抽樣平均誤差爲：

　　 $\mu_p=\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}(1-\frac{n}{N})}=\sqrt{\frac{0.9\times 0.1}{50}(1-\frac{50}{5000})}=4.22%$

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