一、傳統的BCELoss（二元交叉熵 ）
1 交叉熵
先來看下信息論中交叉熵的形式
交叉熵是用來描述兩個分佈的距離的，神經網絡訓練的目的就是使 g(x) 逼近 p(x)。
2 二元交叉熵（BCE）與多元交叉熵區別
交叉熵損失函數兩種形式：
這兩個都是交叉熵損失函數，但是看起來長的卻有天壤之別。爲什麼同是交叉熵損失函數，長的卻不一樣呢？
因爲這兩個交叉熵損失函數對應不同的最後一層的輸出：
第一個對應的最後一層是softmax，第二個對應的最後一層是sigmoid。
（1）二元交叉熵
BCE即binary cross-entropy，二元交叉熵。
當你執行二元分類任務時，可以選擇該損失函數。如果你使用BCE(二元交叉熵)損失函數，則只需一個輸出節點即可將數據分爲兩類。輸出值應通過sigmoid激活函數，以便輸出在(0-1)範圍內，其公式爲：
例如，你有一個神經網絡，該網絡獲取與大氣有關的數據並預測是否會下雨。如果輸出大於0.5，則網絡將其分類爲會下雨；如果輸出小於0.5，則網絡將其分類爲不會下雨。即概率得分值越大，下雨的機會越大。
訓練網絡時，如果標籤是下雨，則輸入網絡的目標值應爲1，否則爲0。
重要的一點是，如果你使用BCE損失函數，則節點的輸出應介於(0-1)之間。這意味着你必須在最終輸出中使用sigmoid激活函數。因爲sigmoid函數可以把任何實數值轉換(0–1)的範圍。(也就是輸出概率值)
（2）多分類交叉熵
當你執行多類分類任務時，可以選擇該損失函數。如果使用CCE(多分類交叉熵)損失函數，則輸出節點的數量必須與這些類相同。最後一層的輸出應該通過softmax激活函數，以便每個節點輸出介於(0-1)之間的概率值。其公式爲：
例如，你有一個神經網絡，它讀取圖像並將其分類爲貓或狗。如果貓節點具有高概率得分，則將圖像分類爲貓，否則分類爲狗。基本上，如果某個類別節點具有最高的概率得分，圖像都將被分類爲該類別。
爲了在訓練時提供目標值，你必須對它們進行一次one-hot編碼。如果圖像是貓，則目標向量將爲(1，0)，如果圖像是狗，則目標向量將爲(0，1)。基本上，目標向量的大小將與類的數目相同，並且對應於實際類的索引位置將爲1，所有其他的位置都爲零。
二、pytorch中BCE代碼
class BCELoss(_WeightedLoss):
__constants__ = ['reduction', 'weight']
def __init__(self, weight=None, size_average=None, reduce=None, reduction='mean'):
super(BCELoss, self).__init__(weight, size_average, reduce, reduction)
def forward(self, input, target):
return F.binary_cross_entropy(input, target, weight=self.weight, reduction=self.reduction)
三、數值穩定的StableBCELoss代碼
參考《深度學習中的數值穩定性問題一例》
（1）改進後的BCELoss代碼
class StableBCELoss(nn.modules.Module):
def __init__(self):
super(StableBCELoss, self).__init__()
def forward(self, input, target):
neg_abs = - input.abs()
loss = input.clamp(min=0) - input * target + (1 + neg_abs.exp()).log()
return loss.mean()
上面這段代碼中的 forward 函數用來計算所謂的 binary cross entropy，其實也就是邏輯迴歸中的損失函數：
其中 sigmoid 函數定義如下：
（2）改進原因-數值穩定性分析
既然只是爲了計算各交叉熵而已，爲什麼要搞這麼複雜的兩行呢：
neg_abs = - input.abs()
loss = input.clamp(min=0) - input * target + (1 + neg_abs.exp()).log()
原因在於
下面我們檢查下這段代碼的正確性，代碼中的 input 對應
input.clamp(min=0) 的意思是 
（3）擴展
在 softmax 的計算中也有指數運算，也存在這樣的數值穩定性問題：
解決思路也是一樣的，就是避免較大正數的自然指數運算：
