一、基本概念
给定N个权值作为N个叶子结点,构造一棵二叉树,若该树的带权路径长度达到最小,称这样的二叉树为最优二叉树,也称为哈夫曼树(Huffman Tree)。哈夫曼树是带权路径长度最短的树,权值较大的结点离根较近。
- 路径和路径长度:在一棵树中,从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路,称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1,则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1
- 结点的权及带权路径长度:若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值,则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为:从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积
- 树的带权路径长度:树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和,记为WPL(weighted path length) ,权值越大的结点离根结点越近的二叉树才是最优二叉树。
- WPL最小的就是赫夫曼树
二、构成赫夫曼树的步骤
- 将数组从小到大进行排序, 将每一个数据,每个数据都是一个节点 , 每个节点可以看成是一颗最简单的二叉树。
- 取出根节点权值最小的两颗二叉树 。
- 组成一颗新的二叉树, 该新的二叉树的根节点的权值是前面两颗二叉树根节点权值的和。
- 再将这颗新的二叉树,以根节点的权值大小 再次排序, 不断重复 1-2-3-4 的步骤,直到数列中,所有的数据都被处理,就得到一颗赫夫曼树。
例:
arrays : {11,15,5,7,2}
1.进行排序 {2,5,7,11,15}
第一轮过后数组剩余 {7,11,15}
第二轮过后数组剩余{11,15}
第三轮过后数组剩余{15}
第四轮完成,此时的二叉树就是哈夫曼树
三、代码实现
import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;
import java.util.List;
public class HuffmanTree {
public static void main(String[] args) {
int arrays[] = {14, 2, 5, 6, 9, 19};
Node root = createHuffmanTree(arrays);
preOrder(root);
}
public static void preOrder(Node root) {
if (root != null) {
root.preOrder();
} else {
System.out.println("tree is empty");
}
}
/**
* @param arr 需要创建成赫夫曼数的数组
* @return 赫夫曼树的root结点
*/
public static Node createHuffmanTree(int[] arr) {
/**
* 1.遍历arr数组
* 2.将arr的每个元素构成一个Node
* 3.将Node放入到ArrayList中
*/
List<Node> nodeList = new ArrayList<Node>();
for (int value : arr) {
nodeList.add(new Node(value));
}
//开始创建赫夫曼树
while (nodeList.size() > 1) {
//将数组进行排序
Collections.sort(nodeList);
//输出结点
// System.out.println("nodeList=" + nodeList);
//取出根节点权值最小的两颗二叉树
// 1. 取出最小的结点
Node leftNode = nodeList.get(0);
//2. 取出次小的结点
Node rightNode = nodeList.get(1);
//3.构建一个新的二叉树
Node parent = new Node(leftNode.value + rightNode.value);
parent.leftNode = leftNode;
parent.rightNode = rightNode;
//4. 从ArrayList删除处理过的二叉树
nodeList.remove(leftNode);
nodeList.remove(rightNode);
//5. 将parent结点加入到nodeList中
nodeList.add(parent);
}
//返回哈夫曼树的root结点
return nodeList.get(0);
}
}
/**
* 创建结点类
* 实现Comparable接口可以让Node对象持续排序
*/
class Node implements Comparable<Node> {
//结点权值
int value;
//指向左子结点
Node leftNode;
//指向右子结点
Node rightNode;
public Node(int value) {
this.value = value;
}
@Override
public String toString() {
return "Node{value=" + value + '}';
}
@Override
public int compareTo(Node o) {
//表示从小到大排序
return this.value - o.value;
}
//前序遍历
public void preOrder() {
System.out.println(this);
if (this.leftNode != null) {
this.leftNode.preOrder();
}
if (this.rightNode != null) {
this.rightNode.preOrder();
}
}
}
哈夫曼树最广泛的应用是哈夫曼编码,用于压缩数据。