此文章借鑑於博文https://blog.csdn.net/shujian_tianya/article/details/80873892，再次基礎上重新進行了分析總結。
一、問題
二、想法
三、講解
1、怎麼求頂點子集，即這些怎麼記錄？
答：例如4個頂點{0,1,2,3}，{1,2,3}依次爲{}，{1}，{2}，{1,2}，{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}。十進制數0、1、2、3、4、5、6、7的二進制分別爲000、001、010、011、100、101、110、111。上述集合中的元素即爲二進制中的位數，例如集合{2,3}，可用二進制110（十進制6）代替，因爲二進制110的第一位是0，第二位第三位是1。
整理一下思路——十進制數的二進制表示中，哪位爲1則集合中就有哪個數。十進制6的二進制110中，第二三位是1，則6代表集合{2,3}
沒有爲什麼，這是我們定下的一條規則，方便我們解題。
如此，過程矩陣d[i][j]的縱座標j就多了一個含義。j=0，代表集合{ }；j=1，代表集合{1}……j=5，代表集合{1，3}……以此類推。
大家可能發現一個問題，在4個頂點{0,1,2,3}中，十進制3代表{1,2}，十進制4代表{3}，而我們一般寫的集合順序是{}，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}。集合{3}是第3個，{1,2}是第4個。會發現順序亂了，這個要說一下，集合之間的排序不影響此題的解答，讀者朋友可以將集合以任意順序寫，會發現不影響最終結果的出現。
2、判斷一個頂點是否位於子集中
舉例解答，如要判斷集合j={1,3,5,6,7}是否有頂點3。
集合j={1,3,5,6,7}表示成二進制串爲1110101，其中集合裏面有的數對應的位數寫成1，沒有的寫成0。要在集合中找頂點3，就是要判斷二進制串第3位是不是1，就把1110101右移(3-1)位，得到11101，然後結果和00001進行&運算，如果結果是1說明第3位是1，則說明頂點在子集中。
故判斷公式爲
(j>>(i-1))&1==1
3、填寫過程矩陣過程
arc[i][j]爲圖的代價矩陣。
d[i][j]爲過程矩陣，存放迭代結果。
以d[2][5]爲例,d[2][5]=d(2,{1,3})。d[2][5] 表示從2出發，通過｛1，3｝，最後回到起點。那麼d[2][5] = min{arc[2][1] + d(1,{3}),arc[2][3] + d(3,{1})} = min{arc[2][1] + d[1][4],arc[2][3] + d[3][1]}。從2出發，要去{1,3}，先考慮去1的路。去了1後集合{1,3}中只剩下{3} ,{3}對應二進制100，十進制4,所以要求的d表就是d[1][4],這個4可以通過(101)^(1)得到,而(1) = 1<<(1-1).其中,二進制101(十進制5)代表集合{1,3};再看去3的路，去了3後集合{1,3}中只剩下{1},{1}對應二進制001，十進制1，所以要求的d表就是d[3][1],1通過(101) ^ (100)得到，而(100) = 1<<(3-1)。故此處又總結出一個公式
d[i][j] = min{arc[i][k] + d[k][j ^ (1 << (k - 1))]}
四、代碼
#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;
int main()
{
int n, i, j, k, m = 1;
cout << "頂點個數：";
cin >> n;
for (i = 1; i < n; i++)//n個頂點有m個子集，m=2^(n-1)
m = m * 2;
//創建動態數組，節省空間
int **arc = new int*[n];//圖的代價矩陣
for (i = 0; i < n; i++)
arc[i] = new int[n];
int **d = new int*[n];//存放迭代結果，即過程矩陣，過程表
for (i = 0; i < n; i++)
d[i] = new int[m];
//輸入圖的代價矩陣
cout << "請以矩陣形式輸入頂點之間的距離" << endl;
for (i = 0; i < n; i++)
for (j = 0; j < n; j++)
cin >> arc[i][j];
//糾正用戶輸入的數據
for (i = 0; i < n; i++)
arc[i][i] = -1;
cout << "您輸入的頂點之間的距離如下" << endl;
for (i = 0; i < n; i++)
{
for (j = 0; j < n; j++)
cout << setw(3) << arc[i][j];
cout << endl;
}
//初始化第0列
for (i = 0; i < n; i++)
d[i][0] = arc[i][0];
//填過程矩陣，第一行，因爲第一行代表從頂點0開始經過一些頂點再回到0，但是我們只需要d[0][m-1]這一個值，所以第一行先不計算，等最後再只計算d[0][m-1]，節省時間。
for (j = 1; j < m; j++)//j就代表m個子集，如j=5(二進制爲101)代表{1,3}，j=3(二進制爲011)代表{1,2}。二進制1011就代表集合{1,2,4}。這是設定的一種規則。
{
for (i = 1; i < n; i++)
{
d[i][j] = 0x7ffff;//設0x7ffff爲無窮大
if (((j >> (i - 1)) & 1) == 1) //對於數字x，要看它的第i位是不是1，通過判斷布爾表達式 (((x >> (i - 1) ) & 1) == 1的真值來實現
continue; //若第i位是1，就說明子集j裏包含i這個元素，d[i][j]這個空就無需計算
for (k = 1; k < n; k++)
{
/*找出集合j中有哪些元素，比如，(6>>(2-1))&1==1,說明集合{2.3}中有元素2。之所以這麼做，
是因爲我們人知道j=6（二進制110）代表集合{2.3}，但是計算機不知道，所以要有找元素這一步*/
if (((j >> (k - 1)) & 1) == 0) //集合中沒有此元素就跳過
continue;
/*以d[2][5]爲例,d[2][5]=d(2,{1,3})。d[2][5] 表示從2出發，通過｛1，3｝，最後回到起點。
那麼d[2][5] = min{arc[2][1] + d(1,{3}),arc[2][3] + d(3,{1})} = min{arc[2][1] + d[1][4],arc[2][3] + d[3][1]}。
從2出發，要去{1,3}，先考慮去1的路。去了1後集合{1,3}中只剩下{3} ,{3}對應二進制100，十進制4,所以要求的d表就是d[1][4],這個4可以通過(101)^(1)得到,而(1) = 1<<(1-1).其中,二進制101(十進制5)代表集合{1,3};
再看去3的路，去了3後集合{1,3}中只剩下{1},{1}對應二進制001，十進制1，所以要求的d表就是d[3][1],1通過(101) ^ (100)得到，而(100) = 1<<(3-1)。*/
if (d[i][j] > arc[i][k] + d[k][j ^ (1 << (k - 1))])
d[i][j] = arc[i][k] + d[k][j ^ (1 << (k - 1))];
}
}
}
//計算d[0][m-1]
for (j = 0; j < m - 1; j++)
d[0][j] = -1;
d[0][m - 1] = 0x7ffff;
for (k = 1; k < n; k++)
{
if ((( m-1 >> (k - 1)) & 1 ) == 0)
continue;
if (d[0][m - 1] > arc[0][k] + d[k][(m - 1) ^ (1 << (k - 1))])
d[0][m - 1] = arc[0][k] + d[k][(m - 1) ^ (1 << (k - 1))];
}
cout << "最短路徑爲：" << d[0][m-1] << endl;
cout << "過程矩陣爲：" << endl;
//輸出過程矩陣
cout << '\t';
for (j = 0; j < m; j++)
cout << j << '\t';
cout << endl;
for (i = 0; i < n; i++)
{
cout << i << '\t';
for (j = 0; j < m; j++)
{
if (d[i][j] == 0x7ffff)
d[i][j] = -1;
cout << d[i][j] << '\t';
}
cout << endl;
}
getchar();
getchar();
return 0;
}
五、結果截圖
