[統計學筆記] 參數估計和假設檢驗計算題精講

參數估計和假設檢驗計算題精講

習題1

設某產品的指標服從正態分佈，它的標準差 σ 已知爲150，今抽了一個容量爲26的樣本，計算得平均值爲1637。問在5％的顯著水平下，能否認爲這批產品的指標的期望值 μ 爲1600?

解答：

根據題意知：標準差 $\sigma = 150$ ，， $\alpha =0.05$ ， $z_{\alpha /2} = z_{0.025} = z_{0.975} = 1.96$ ，

令： $H_{0}$ ： $\mu =1600$ ； $H_{1}$ ： $\mu \neq =1600$ ；

拒絕域爲： $\left | Z \right | > z_{\alpha /2}$

由檢驗統計量： $\left | Z \right | = \left | \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma /\sqrt{n}} \right | = \left | \frac{1637-1600}{150/\sqrt{26}} \right | = 1.25 < 1.96$

所以，應該接受 $H_{0}$ ： $\mu =1600$

解答完畢。

習題2

某電器零件的平均電阻一直保持在2.64Ω，改變加工工藝後，測得100個零件的平均電阻爲2.62Ω，如改變工藝前後電阻的標準差保持在O.06Ω，問新工藝對此零件的電阻有無顯著影響(α=0.05)?

解答：

根據題意知：標準差 $\sigma = 0.06$ ，， $\alpha =0.05$ ， $z_{\alpha /2} = z_{0.025} = z_{0.975} = 1.96$ ，

令： $H_{0}$ ： $\mu =2.64$ ； $H_{1}$ ： $\mu \neq 2.64$ ；

拒絕域爲： $\left | Z \right | > z_{\alpha /2}$

由檢驗統計量： $\left | Z \right | = \left | \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma /\sqrt{n}} \right | = \left | \frac{2.62-2.64}{0.06/\sqrt{100}} \right | = 3.33 > 1.96$

所以，應該接受 $H_{1}$ ： $\mu \neq 2.64$

解答完畢。

習題3

有一批產品，取50個樣品，其中含有4個次品。在這樣情況下，判斷假設 $H_{0}$ ： $p\leq 0.05$ ( $\alpha =0.05$ )?

解: 根據題意知： $H_{0}$ ： $p\leq 0.05$ ； $H_{1}$ ：

採用非正態大樣本統計檢驗法，拒絕域爲 $Z > z_{\alpha}$ ， $\alpha =0.05$ ，則 $z_{\alpha } = z_{0.95} = 1.65$

，由檢驗統計量：

$Z = \frac{x/n-p}{\sqrt{p\times \left ( 1-p \right )/n}} = \frac{4/50-0.05}{\sqrt{0.05\times \left ( 1-0.05 \right )/50}} = 0.9733$

由於，

故：接受 $H_{0}$ ： $p\leq 0.05$

解答完畢。

習題4

某產品的次品率爲0.17，現對此產品進行新工藝試驗，從中抽取400件檢驗，發現有次品56件，能否認爲此項新工藝提高了產品的質量( $\alpha =0.05$ )?

解: 根據題意知： $H_{0}$ ： $p \geq 0.17$ ； $H_{1}$ ：，

採用非正態大樣本統計檢驗法，拒絕域爲： $Z > - z_{\alpha}$ ，，

由於： $\alpha =0.05$ ，則： $- z_{\alpha } = - z_{0.95} = -1.65$

$Z = \frac{\sum_{i=1}^{400}x_{i}-np}{\sqrt{n\times p\times \left ( 1-p \right )}} = \frac{56-400\times 0.17}{\sqrt{400\times 0.17\times 0.83}} = -1.5973 > -1.65$

故：接受 $H_{0}$ ： $p \geq 0.17$

即以 95%的把握認爲此項新工藝沒有明顯地提高產品的質量。

解答完畢。

習題5

從某種試驗物中取出24個樣品，測量其發熱量，計算得 $\overline{x} = 11958$ ，樣本標準差，問以5％的顯著水平是否可認爲發熱量的期望值是12100(假定發熱量是服從正態分佈的)?

解: 根據題意知： $H_{0}$ ： $\mu = 12100$ ； $H_{1}$ ： $\mu \neq 12100$ ; 總體標準差 $\sigma$ 未知，

拒絕域爲 $\left | t \right | > t_{\alpha /2}\left ( n-1 \right )$ ，， $\overline{x}=11958$ ，， $t_{0.025}\left ( 23 \right ) = 2.0687$ $\alpha =0.05$ ，

由檢驗統計量： $\left | t \right | =\left | \frac{\overline{x} - \mu }{s/\sqrt{n}}\right | = \left | \frac{11958 - 12100 }{323/ \sqrt{24}} \right | = 2.1537 > 2.0687$

所以：拒絕 $H_{0}$ ；接受 $H_{1}$ ： $\mu \neq 12100$

即，以95%的把握認爲試驗物的發熱量的期望不是 12100。

解答完畢。

習題6

某食品廠用自動裝罐機裝罐頭食品，每罐標準重量爲500克，每隔一定時間需要檢查機器工作情況。現抽得10罐，測得其重量爲(單位：克):195，510，505，498，503，492，502，612，407，506。假定重量服從正態分佈，試問以95％的顯著性檢驗機器工作是否正常?

解: 根據題意知： $H_{0}$ ： $\mu = 500$ ； $H_{1}$ ： $\mu \neq 500$ ; 總體標準差 $\sigma$ 未知，

拒絕域爲 $\left | t \right | > t_{\alpha /2}\left ( n-1 \right )$ ，， $\overline{x}=502$ ，， $\alpha =0.05$ ， $t_{0.025}\left ( 9 \right ) = 2.2622$ ，

由檢驗統計量： $\left | t \right | =\left | \frac{\overline{x} - \mu }{s/\sqrt{n}}\right | = \left | \frac{502 - 500 }{6.4979/ \sqrt{10}} \right | = 0.9733 > 2.2622$ ，

所以：接受 $H_{0}$ ： $\mu = 500$ ；拒絕 $H_{1}$ ： $\mu \neq 500$

即，以95%的把握認爲機器工作是正常的。

解答完畢。

習題7

有一種新安眠藥，據說在一定劑量下，能比某種舊安眠藥平均增加睡眠時間3小時，根據資料用某種舊安眠藥時，平均睡眠時間爲20.8小時。標準差爲1.6小時，爲了檢驗這個說法是否正確，收集到一組使用新安眠藥的睡眠時間爲26.7，22.0，24.1，21.0，27 .2，25.0，23.4。試問：從這組數據能否說明新安眠藥已達到新的療效(假定睡眠時間服從正態分佈，α=0.05)。

解: 根據題意知： $H_{0}$ ： $\mu \geq 23.8$ ； $H_{1}$ ： $\mu < 23.8$ ; 總體標準差 $\sigma$ 已知爲： $\sigma = 1.6$ ，

拒絕域爲： $Z < - z_{\alpha}$ ，，經計算得到： $\overline{x}=24.2$ ，取 $\alpha =0.05$ ， $- z_{\alpha } = - z_{0.95} = -1.65$ ，

由檢驗統計量： $Z = \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma /\sqrt{n}}= \frac{24.2-23.8}{1.6/\sqrt{7}} = 0.66143 > -1.65$

所以：接受 $H_{0}$ ： $\mu \geq 23.8$ ；拒絕 $H_{1}$ ： $\mu < 23.8$

即，以95%的把握認爲新安眠藥已經達到了新的療效。

解答完畢。

習題8

測定某種溶液中的水份，它的10個測定值給出 $\overline{x}$ =0. $\chi _{0.975}^{2}\left ( 9 \right ) = 2.7$

(2) $H_{0}$ ： $\sigma$ =0.04％， $H_{1}$ ： $\sigma \neq$ 0.04％

解:

（1）根據題意知： $H_{0}$ ： $\mu$ =0.5%; $H_{1}$ ： $\mu\neq$ 0.5%，總體標準差 $\sigma$ 未知，

拒絕域爲： $\left | t \right | > t_{\alpha /2}\left ( n-1 \right )$ ，， $\overline{x}$ =0.452%，s=0.037%，

取 $\alpha =0.05$ ， $t_{0.025}\left (9 \right ) = 2.2622$ ，

由檢驗統計量 $\left | t \right | =\left | \frac{\overline{x} - \mu }{s/\sqrt{n}}\right | = \left | \frac{0.00452 - 0.005 }{0.00037/ \sqrt{10}} \right | = 4.102 > 2.2622$

所以：拒絕 $H_{0}$ ： $\mu$ =0.5%

（2）根據題意知： $H_{0}$ ： $\sigma$ =0.04％； $H_{1}$ ： $\sigma \neq$ 0.04％，

拒絕域爲： $\chi ^{2} \leq \chi_{1-\alpha /2}^{2}\left ( n-1 \right )$ 或 $\chi ^{2}\geq \chi_{\alpha /2}^{2}\left ( n-1 \right )$ ，，取 $\alpha =0.05$ ， $\chi _{0.975}^{2} \left ( 9 \right )= 2.7$