歐拉函數的積性證明及線性篩

歐拉函數的積性證明

歐拉函數即$\varphi$函數

以下兩段是從大佬那裏淘來的證明

同樣的，$t\perp nm\Leftrightarrow t\perp n,t\perp m\Leftrightarrow(t\bmod n)\perp n,(t\bmod m)\perp m$，所以每個 $[1, nm]$之間的與$nm$互質的數$t$都可以對應到一個$[1,n]$的與$n$互質的數 $t\bmod n$和一個$[1,m]$的與$m$互質的數$t\bmod m$。

並且根據中國剩餘定理，這種對應是一一對應的（即已知 $a\perp n, b\perp m$後可以唯一確定一個$[1,nm]$之間的$t$使得$t\bmod n=a, t\bmod m=b$，且$t\perp nm$）。因此 $\varphi(nm)=\varphi(n)\varphi(m)$ 。

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然而我看不懂……還是從定義上來證明吧！

假設有兩個互質的正整數$n,m$，則

$\varphi(n)=n\prod(1-\frac{1}{p_i})$

$\varphi(m)=m\prod(1-\frac{1}{p_{i'}})$

$\varphi(n)\varphi(m)=n\prod(1-\frac1{p_i})m\prod(1-\frac1{p_{i'}})=nm\prod(1-\frac1{p_i})\prod(1-\frac1{p_{i'}})$

因爲$n,m$互質，所以$p_i$和$p_{i'}$各各都不相同，且都是$nm$的質因子

因此就可以推出$\varphi(nm)=\varphi(n)\varphi(m)$

至此，積性函數的性質得證。但是由上面的證明可知，$n,m$必須要互質纔可以滿足歐拉函數是積性函數，由此可見歐拉函數不是完全積性函數

線性篩歐拉函數

友情提示：建議先學習線性篩素數再來學習，在此不會講線性篩的基本操作

線性篩歐拉函數可以分爲三種情況：

1. $i$是質數時，$\varphi(i)=n-1$，根據質數的性質，在$1\sim i$中，有$i-1$個與$i$互質的數，所以質數$i$的歐拉函數就是$i-1$
2. $i\bmod p[j]\neq 0$時，說明$i$和$p[j]$互質，$\varphi(i\times p[j])=\varphi(i)\varphi(p[j])$（因爲$p[j]$是質數，所以$\varphi(p[j])$也可以寫成$p[j]-1$，代碼裏寫的是$\varphi(p[j])$）
3. $i\bmod p[j]=0$時，$\varphi(i*p[j])=\varphi(i)*p[j]$（從歐拉函數定義來證明，表示我也不會）

代碼如下：

int phi[A], p[A], cnt;
//phi歐拉函數，p質數數組，cnt記錄質數個數 
bool vis[A];//爲1即爲合數，爲0則爲質數 

void getphi() {
	phi[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (!vis[i]) p[++cnt] = i, phi[i] = i - 1;
		for (int j = 1; j <= cnt && i * p[j] <= n; j++) {
			vis[i * p[j]] = 1;
			if (i % p[j] == 0) { phi[i * p[j]] = phi[i] * p[j]; break; }
			else phi[i * p[j]] = phi[i] * phi[p[j]];//互質，利用歐拉函數的積性 
		}
	}
}