樹算法的套路框架---遞歸DFS

樹算法的套路框架

二叉樹算法:設計的總路線：明確一個節點要做的事情，然後剩下的事拋給框架

void traverse(TreeNode root){
//root 需要做什麼？在這做
//其他的不需要root操心，拋給框架
traverse(root.left);
traverse(root.right);

}

Demon01:如何把二叉樹所有節點值加1

void plusOne(TreeNode root) {
    if (root == null) return;
    root.val += 1;

    plusOne(root.left);
    plusOne(root.right);
}

Demon02:如何判斷兩顆二叉樹是否完全相同?

boolean isSameTree(TreeNode root1, TreeNode root2) {
    // 都爲空的話，顯然相同
    if (root1 == null && root2 == null) return true;
    // 一個爲空，一個非空，顯然不同
    if (root1 == null || root2 == null) return false;
    // 兩個都非空，但 val 不一樣也不行
    if (root1.val != root2.val) return false;

    // root1 和 root2 該比的都比完了
    return isSameTree(root1.left, root2.left)
        && isSameTree(root1.right, root2.right);
}

二叉樹搜索樹

二叉搜索樹（Binary Search Tree，簡稱 BST）是一種很常用的的二叉樹。它的定義是：一個二叉樹中，任意節點的值要大於等於左子樹所有節點的值，且要小於等於右邊子樹的所有節點的值。

下面實現 BST 的基礎操作：判斷 BST 的合法性、增、刪、查。其中“刪”和“判斷合法性”略微複雜。

判斷是否爲合法二叉樹

boolean isValidBST(TreeNode root) {
    if (root == null) return true;
    if (root.left != null && root.val <= root.left.val) return false;
    if (root.right != null && root.val >= root.right.val) return false;

    return isValidBST(root.left)
        && isValidBST(root.right);
}

但是這個算法出現了錯誤，BST 的每個節點應該要小於右邊子樹的所有節點，下面這個二叉樹顯然不是 BST，但是我們的算法會把它判定爲 BST。

出現錯誤，不要慌張，框架沒有錯，一定是某個細節問題沒注意到。我們重新看一下BST的定義，root 需要做的不只是和左右子節點比較，而是要整個左子樹和右子樹所有節點比較。怎麼辦，鞭長莫及啊！

這種情況，我們可以使用輔助函數，增加函數參數列表，在參數中攜帶額外信息，請看正確的代碼：

boolean isValidBST(TreeNode root) {
    return isValidBST(root, null, null);
}

boolean isValidBST(TreeNode root, TreeNode min, TreeNode max) {
    if (root == null) return true;
    //當前樹比左子樹的最小值小則返回false
    if (min != null && root.val <= min.val) return false;
    //當前樹比右子樹的最大值大則返回false
    if (max != null && root.val >= max.val) return false;
    //判斷左子樹是否爲BST
    return isValidBST(root.left, min, root) 
        && isValidBST(root.right, root, max);
}

在BST中查找一個數是否存在

boolean isInBST(TreeNode root, int target) {
    if (root == null) return false;
    if (root.val == target) return true;

    return isInBST(root.left, target)
        || isInBST(root.right, target);
}

在你可以考慮一點細節問題了：如何充分利用信息，把 BST 這個“左小右大”的特性用上？

很簡單，其實不需要遞歸地搜索兩邊，類似二分查找思想，根據 target 和 root.val 的大小比較，就能排除一邊。我們把上面的思路稍稍改動：

boolean isInBST(TreeNode root, int target) {
    if (root == null) return false;
    if (root.val == target)
        return true;
    if (root.val < target) 
        return isInBST(root.right, target);
    if (root.val > target)
        return isInBST(root.left, target);
    // root 該做的事做完了，順帶把框架也完成了，妙
}

於是，我們對原始框架進行改造，抽象出一套針對 BST 的遍歷框架：

void BST(TreeNode root, int target) {
    if (root.val == target)
        // 找到目標，做點什麼
    if (root.val < target) 
        BST(root.right, target);
    if (root.val > target)
        BST(root.left, target);
}

在BST中插入一個數

對數據結構的操作無非遍歷 + 訪問，遍歷就是“找”，訪問就是“改”。具體到這個問題，插入一個數，就是先找到插入位置，然後進行插入操作。

上一個問題，我們總結了 BST 中的遍歷框架，就是“找”的問題。直接套框架，加上“改”的操作即可。一旦涉及“改”，函數就要返回 TreeNode 類型，並且對遞歸調用的返回值進行接收。

TreeNode insertIntoBST(TreeNode root, int val) {
    // 找到空位置插入新節點
    if (root == null) return new TreeNode(val);
    // if (root.val == val)
    //     BST 中一般不會插入已存在元素
    if (root.val < val) 
        root.right = insertIntoBST(root.right, val);
    if (root.val > val) 
        root.left = insertIntoBST(root.left, val);
    return root;
}

在BST中刪除一個數

這個問題稍微複雜，不過你有框架指導，難不住你。跟插入操作類似，先“找”再“改”，先把框架寫出來再說：

TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) {
    if (root.val == key) {
        // 找到啦，進行刪除
    } else if (root.val > key) {
        root.left = deleteNode(root.left, key);
    } else if (root.val < key) {
        root.right = deleteNode(root.right, key);
    }
    return root;
}

if (root.left == null && root.right == null)
    return null;

// 排除了情況 1 之後
if (root.left == null) return root.right;
if (root.right == null) return root.left;

if (root.left != null && root.right != null) {
    // 找到右子樹的最小節點
    TreeNode minNode = getMin(root.right);
    // 把 root 改成 minNode
    root.val = minNode.val;
    // 轉而去刪除 minNode
    root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);
}

TreeNode getMin(TreeNode node) {
    // BST 最左邊的就是最小的
    while (node.left != null) node = node.left;
    return node;
} 

三種情況分析完畢，填入框架，簡化一下代碼：

TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) {

    if (root == null) return null;
    
    if (root.val == key) {
        // 這兩個 if 把情況 1 和 2 都正確處理了
        if (root.left == null) return root.right;
        if (root.right == null) return root.left;
        // 處理情況 3
        TreeNode minNode = getMin(root.right);
        root.val = minNode.val;
        root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);
        
    } else if (root.val > key) {
        root.left = deleteNode(root.left, key);
    } else if (root.val < key) {
        root.right = deleteNode(root.right, key);
    }
    return root;
}

TreeNode getMin(TreeNode node) {
    // BST 最左邊的就是最小的
    while (node.left != null) node = node.left;
    return node;
}