社區舉辦“殺戮遊戲”，你是倖存的那個嗎？

“殺戮遊戲”通告

X社區要舉辦“殺戮遊戲”，你會是倖存的那個人嗎？
遊戲規則如下：

所有人（本例子中12個人）排成一個圓圈，由第一個人開始，向下殺死相鄰的人，直到剩下一個人，遊戲結束。
獲勝條件：你爲了在這場“殺戮遊戲”中存活下來，需要選擇一個幸運號碼，本例子中爲9。

你的直覺是什麼

大多數人應該和我一樣，第一想法是構造一個鏈表數據結構，把所有人放到這個鏈表裏面。

只要你懂得數據結構，這個解法非常直觀。邏輯上就是每次殺死一個人，把代表這個人的節點刪除，類似下面這樣。

遞歸思想是一個好東西

也許你從另外一個思路入手，利用遞歸思想來解決這個問題。
遞歸樹如下：

我們觀察如下情況：
退出條件爲
j(1,k) = 0 物理含義爲：如果只有一個人參加遊戲，則這個人必然存活，返回此時他的編號（假設由0開始編號）

遞歸之間的關係轉移爲：
j(n,k) =( j(n-1, k) + k ) % n

關係式中的 j(n-1, k) + k 物理意義：
 j(n-1, k) 爲n-1規模存活下來的人，
 此時這個人的編號+k就是n規模存活下來的人的編號（這個編號有可能超出n），
 所以，考慮到所有的人都在一個圈上，需要對n取餘，返回n範圍以內的編號。

有了思路，代碼真的不重要，但還是寫一下，便於大家理解
代碼如下：

def kill_game(n, k):
    if n == 1:
        return 0
    return (kill_game(n-1,k) + k ) % n
n = 12
k = 2
print("你的幸運號碼是:{}".format(kill_game(n, k)+1))
#最後這裏+1的，是因爲最開始示例中使用的編號是從1開始。
#如果你的編號是從0開始，則可以忽略這個1

輸出

你的幸運號碼是:9

這種方式的好處就是實現起來，代碼非常簡單。

你還是被殺死了

社區舉辦這場“殺戮遊戲”是參考歷史上赫赫有名的約瑟夫環。

約瑟夫環（Josephus）問題是由古羅馬的史學家約瑟夫（Josephus）提出的，他參加並記來錄了公元66—70年猶太人反抗羅馬的起義。約瑟夫作爲一個將軍，設法守住了裘達伯特城達47天之久，在城市淪陷之後，他和源40名死硬的將士在附近的一個洞穴中避難。在那裏，這些叛亂者表決說“要投降毋寧死”。於是，約瑟夫建議每個人輪流殺死他旁邊的人，而這百個順序是由抽籤決定的。約瑟夫有預謀地抓到了最後一簽，並且，作爲度洞穴中的兩個倖存者之一，他說服了他原先的犧牲品一起投降了羅馬。
網絡上還有該問題的其它變種。

爲了還原當時的歷史條件，X社區決定不允許使用電腦編程這樣的輔助設備，只能憑腦力。
用算法的語言描述就是你用O(N)的時間複雜度來解決這個問題，會被TLE(Time Limit Exceeded)。

更快的算法。

我們先來縮小規模，來觀察這個問題，看有沒有規律可以尋找。
規模縮小到8

第一個規律

如果n滿足2的冪數倍，那最後存活下來的人一定是最開始的那個人：本例子中爲1。

第二個規律

如果n不是2的整數倍，我們可以把n表示爲$n=2^x+l$ 其中x是n範圍內2的最大次冪。
比如13 我們就可以表示爲$13 = 2^3 + 5$ 也就是 $13 = 8 + 5$。此時如果x爲4，則$2^4$ > 13,所以x只能爲3.

此時遊戲人數是13，我們知道8是可以被2整除的，所以可以自然的想到，先幹掉5個人，剩下的8個人開始的位置 i 就是最後存活下來的人。
如下圖：


此時i的值爲11，剩下了8個人，8==$2^3$.

最後的存活者就是11，你可以用剛纔的遞歸代碼去驗證。

n =13
k = 2
print("你的幸運號碼是:{}".format(kill_game(n, k)+1))

輸出：

你的幸運號碼是:11

於是我們可以觀察到這個規律這種情況下的

倖存號碼=$2*l+1$
本例中=> ( 2 * 5 +1)

最終的公式

存活下來的人可以用如下關係表示：
$n=2^x + l$
$13=2^3+5$ 可得 ${x=3, l=5}$
存活下來的人(i)
$i = 2*l+1$ 可得 $i=11$

你現在能活下來嗎？

現在你可以活下來了嗎？
現在你已經被拉到了遊戲現場，一共有41個人，已經開始選號碼了！
你要選擇多少？
把答案寫在評論區吧！

滿足你的強迫症

雖然這個問題，只要n不是特別誇張，對於已經熟練對65536求log的你應該已經可以心算了。
可我們畢竟是開發人員，總感覺不寫段代碼就哪裏不對勁，爲了滿足這種強迫症，奉上代碼.

import math
def kill_game(n):
    x = math.floor(math.log(n, 2))
    l = n - math.pow(2, x)
    luck_num = int(2*l+1)
    return luck_num
    
n = 13

print("你的幸運號碼是:{}".format(kill_game(n, k)))

輸出：

你的幸運號碼是:11

我最喜歡的殺戮遊戲

這場“殺戮遊戲”是我非常喜歡在電話面試中用來考覈候選者的一道面試題。
考察候選者對數據結構中的鏈表與遞歸思想進行考覈，只要有了思路，編碼實現一般都不會有什麼大問題。
最後會和候選人探討，有沒有更快的實現方式？也就是本文中重點介紹的方法。當然候選人在面試情況下如果第一次接觸這個問題，我並不會要求他給出正確的答案，只要他有正確的觀察思路，我就會判他通關。

算法與真實的世界

在現實生活中，爲什麼很多事情，同樣的人做會有不同的效果。
就在於你對這個問題的認識深度，能不能用算法，用模型去思考。每個人的時間都是有限的，如何用有限的時間去高效的解決問題，這是一個技術活！！
算法不僅僅是爲了編程，他與我們的真實世界息息相關。
算法是能給你帶來財富，節省生命的寶貴工具。

恭喜你在遊戲中獲勝了

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參考資料
感謝Numberphile 製作的視頻素材