智能優化算法之海豚回聲定位(Dolphin echolocation,DE)

一種新的優化方法：海豚回聲定位

海豚回聲定位算法（Dolphin echolocation,DE）由伊朗人A. Kaveh和N. Farhoudi於2013年提出，是一種新型的元啓發式優化算法，其模擬了海豚在捕食過程中利用回聲定位的策略。

回聲定位

海豚可以發出滴答滴答的聲音，這些滴答聲的頻率遠遠高於交流信號的頻率。當聲音撞擊到物體，聲波的部分能量會反射回海豚身上，海豚接收到回聲後會發出另一種滴答聲，海豚會根據滴答聲與回聲之間的時間間隔評估出與物體的距離，還會根據頭部兩側接收到的不同強度的信號進行方向判斷，通過不斷地發出滴答聲和接受回聲，海豚可以跟蹤並鎖定目標。當海豚接近感興趣的目標時，還會提高滴答的速率。

儘管蝙蝠也是利用回聲定位，但是它們卻與海豚的聲納系統不同。蝙蝠聲納系統的範圍較小，一般3到4米左右，而海豚能探測到的目標範圍從幾十米到一百多米不等。聲波在空氣中的傳播速度大約是水傳播速度的五分之一，因此蝙蝠在聲納傳播過程中的信息傳遞速度要比海豚短得多。這些在環境和獵物方面的不同就需要不同類型的聲納系統，從而很難直接比較出孰好孰壞。

對於優化問題，海豚利用回聲定位的原理捕食獵物的過程類似於尋找問題的最優解。初始時，海豚對整個空間進行搜索以尋找獵物，隨着越來越接近目標，海豚就會縮小搜索範圍，並增加滴答聲以專注於某一位置。

該算法通過限制與目標距離成比例的探索來模擬回聲定位，分爲兩個階段：第一階段，算法探索整個空間以進行去全局搜索，因而可以搜尋未曾探索過的區域，主要是通過隨機探索位置來實現；第二階段，算法將圍繞前一階段中獲得的較優結果附近進行開發利用。

使用海豚回聲定位算法時，用戶可以根據預定義的曲線改變階段1與階段2產生解的比率。在用戶定義的這條曲線上應該保證優化收斂，算法然後設置參數以便遵循這條曲線。與其他方法相比，該方法與最優解出現的可能性相關，換句話說，對於每個變量，在可行域內都有不同的可選值，在每個循環中，算法根據用戶確定的收斂曲線，定義了選擇到目前爲止實現的最優值的可能性，利用這條曲線，使算法的收斂性得到控制，從而降低對參數的依賴性。

回聲定位算法

在開始優化之前，需要對搜索空間按以下規則進行排序：

搜索空間排序：對於每個變量，對搜索空間的可選值按升序或降序排序，如果可選值包含多個特徵，則按最重要的進行排序。對於變量$j$，所有的可選值構成了長度爲$LA_j$的向量$A_j$，將這些向量作爲列就得到了矩陣$Alternatives_{MA\times NV}$，其中$MV$爲$max(LA_{j})_{j=1:NV}$，$NV$爲變量個數。

優化過程中收斂因子應根據曲線進行改變，曲線定義如下：

$P P\left(L o o p_{i}\right)=P P_{1}+\left(1-P P_{1}\right) \frac{L o o p_{i}^{\text {Power }}-1}{(\text {LoopsNumber})^{\text {Power}}-1}\tag{1}$

其中$PP$爲預定義的概率，$PP_1$爲第一次循環時的收斂因子，在第一次循環中隨機選擇解。$Loop_i$爲當前循環數，$Power$爲曲線度。

循環數：算法達到收斂點的循環數，這個參數應該根據計算量由用戶選擇。

算法的流程圖如下圖所示，以下面的優化問題爲例，說明海豚回聲定位的主要步驟。

$\min \left(h=\sum_{i=1}^{N} x_{i}^{2}\right), \quad x_{i} \in Z,-20 \leqslant x_{i} \leqslant 20\tag{2}$
其中$N=4$。

在算法優化之前，首先根據等式(1)選擇曲線，其中$Power=1$，循環數Loops number=8，以及$PP_10.1$，則由

$P P=0.1+0.9\left(\frac{\text {Loop}_{i}-1}{7}\right)=0.1+0.9\left(\text {Loop}_{i}-1\right)\tag{3}$

1. 隨機初始化$NL$個海豚位置。

這一步主要包括創建$L_{NV\times NV}$，其中$NL$爲位置個數，$NV$爲變量個數（每個位置的維度）。對於該實例，考慮$NL=30$，$NV=4$，每個維度取值均在[-20,20]之間，第$i$位置的解可能爲$L_i={10,4,-7,18}$。

2. 根據等式（1）（對於該例子就是等式（3））計算循環的$PP$。
3. 計算每個位置的適應度值。

在該例中，式（2）定義了目標函數，如對於位置$L_i$，$h=(-10)^2+4^2+(-7)^2+18^2=489$。在海豚回聲定位算法中，適應度值用於計算概率，較優的適應度值應該具有更高的概率，因此對於對於最小化問題則適應度應該爲目標值的相反數，即$Fitness=1/h$。爲了避免除以0，通常使用$Fitness=1/(h+1)$，在該例中，$Fitness(L_i)=1/(489+1)=0.00204$。

4. 根據如下的海豚規則計算累積適應度值：

(a)

for $i$=1 to 可選值個數

 for $j$=1 to 變量個數

  找到Alternatives中第$j$列的位置$L(i,j)$，命名爲$A$

  for $k$=$-R_e$ to $R_e$

   $A F_{(A+k) j}=\frac{1}{R_{e}} *\left(R_{e}-|k|\right) \text { Fitness }(i)+A F_{(A+k) j}(4)$

  end

 end

end

其中$A F_{(A+k) j}$是爲第$j$個變量選擇的第$(A+k)$個可選值的累積適應度值（可選值的編號等於Alternatives矩陣的排序），$R_e$爲有效半徑，在該半徑內A的鄰域的累積適應度都會受到A的適應度值的影響，該半徑建議不超過搜索空間的1/4。

對於靠近邊緣的可選值（$A+k$無效，$A+k<0$或$A+k>LA_j$），$AF$將使用反射特徵進行計算，這種情況下，如果可選值與邊緣的距離小於$R_e$，那麼在邊緣上放置一面鏡子時，在上述可選值的鏡像位置上存在相同的可選值。

(b)爲了在搜索空間中更均勻地分佈分佈這種可能性，對所有的序列均加上一個很小的數$A F=A F+\varepsilon$，其中$\varepsilon$應該按照適應度值定義的方式選擇，最好小於適應度值所能取得的最小值。

©找到當前循環中的最優位置，並記爲最優位置“The best location”，找出分配給最優位置中各個變量的可選值，設置它們的$AF$爲0，即：

for $j=1$ to 變量個數

 for $i$=1 to 可選值個數

  if $i$=The best location($j$)

   $AF_{ij}=0$

  end

 end

end

對於上述優化問題，首先根據等式(2)計算累積適應度值，前面提到過，可選值應該按照升序進行排列，則可選矩陣爲：
$\text { Alternatives }=\left[\begin{array}{cccc} -20 & -20 & -20 & -20 \\ -19 & -19 & -19 & -19 \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ 19 & 19 & 19 & 19 \\ 20 & 20 & 20 & 20 \end{array}\right]\tag{5}$

對於採樣位置$L_i$,考慮$R_e=10$，則等式(4)變爲：

for $i=L_i$

 for $j$=1 to 4

  找到Alternatives中第$j$列的位置$L(i,j)$，命名爲$A$

  for $k$=$-10$ to $10$

   $A F_{(A+k) j}=\frac{1}{10} *\left(10-|k|\right) \text { Fitness }(i)+A F_{(A+k) j}(6)$

  end

 end

end

其中式(5)也可表示爲：

for $j={1,2,3,4}$

 $L(i,j)={-10,4,-7,18}$,那麼$A={11,25,14,39}$，-10在可選值矩陣的第一列中排在第11位，以此類推就可以得到$A$。

 for $k$=-10 to 10

  $A F_{(11+k) 1}=\frac{1}{10} *\left(10-|k|\right) \text { Fitness }(i)+A F_{(11+k) 1}(7)$

  $A F_{(25+k) 2}=\frac{1}{10} *\left(10-|k|\right) \text { Fitness }(i)+A F_{(25+k) 2}$

  $A F_{(14+k) 3}=\frac{1}{10} *\left(10-|k|\right) \text { Fitness }(i)+A F_{(14+k) 3}$

  $A F_{(39+k) 4}=\frac{1}{10} *\left(10-|k|\right) \text { Fitness }(i)+A F_{(39+k) 4}$

 end

end

$\epsilon=1/(4*20^2)$，那麼$AF=AF+0.000625$。

在式(7)的這些等式中，對於第2個變量$j=2$，在計算累積適應度時，應該將搜索空間分爲兩個區域：受影響區域(有效半徑內)和不受影響區域。設定$R_e=10$，由於第2個變量選擇的可選值爲4，那麼與4的距離大於10($x<6$或$x>10$)的區域不會受到影響。同時在受影響的區域內，由該樣本位置產生的累積適應度線性變化，其最大值出現在x=4處，則有：

$AF=AF+0.000625$

對所有隨機選擇的解進行以上操作，就得到了第一次循環的最終累積適應度。

5. 對於變量$j_{(j=1 to NV)}$，根據以下關係計算選擇可選值$i_{(i=1toAL_j)}$的概率：
   $P_{i j}=\frac{A F_{i j}}{\sum_{i=1}^{L A j} A F_{i j}}\tag{8}$

根據分配給每個可選值的概率，計算下一步的位置。

在該例中，對於變量$j_{(j=1 to 4)}$,計算可選值$i_{(i=1to40)}$的概率：

$P_{i j}=\frac{A F_{i j}}{\sum_{k=1}^{40} A F_{k j}}\tag{9}$

6. 爲最優位置的所有變量選擇的所有可選值分配概率$PP$,根據下面的公式，把其餘的概率分配給其他可選值：

for $j=1$ to 變量個數

 for $i=1$ to 可選值個數

  if $i=1$ The best location($j$)

   $P_{ij}=PP$ (10)

  else

   $P_{ij}=(1-PP)P_{ij}$ (11)

  end

 end

end

第一次循環的最優位置爲$X1=-11,X2=3,X3=X4=4$，根據等式(3)，第一次循環的$PP=10\%$,即在最優位置上的所有變量的概率爲$10\%$,而將剩餘的$90\%$分配給其他可選值。
$P_{i j}=(1-0.1) P_{i j}=0.9 P_{i j}\tag{12}$