[統計學筆記] （十三）指數分析（2）

（十三）指數分析（2）

指數體系與因素分析

指數體系是指由三個或三個以上的具有內在聯繫的指數構成的有一定數量對等關係的整體。指數體系的形式不是隨意的，而是由現象間客觀存在的必然聯繫決定的。例如，

產品產值＝產品產量×產品價格

商品銷售額＝商品銷售量×商品價格

全員勞動生產率＝生產成果×職工（平均）人數

……

上述這些現象在數量上存在的聯繫，表現在動態變化上，就可以形成如下指數體系：

產品產值指數＝產品產量指數×產品價格指數

商品銷售額指數＝商品銷售量指數×商品價格指數

全員勞動生產率指數＝生產成果指數×職工（平均）人數指數

在指數體系中，包含的指數分爲兩大類：一類是反映現象總變動的指數，通常表現爲廣義的總指數，這類指數在一個指數體系中只有一個，一般放在算式的左邊；另一類是反映某一因素變動的指數，稱爲因素指數，這類指數在一個指數體系中可以是多個，一般放在等式的右邊。

利用指數體系可以進行因素分析。指數體系是利用指數對現象變化進行因素分析的根據，藉助指數體系可以從相對數和絕對數兩個方面分析各因素的變動對現象總變動的影響。

利用指數體系還可以進行指數間的相互推算。在一個指數體系中，當已知其中某幾個指數時，可以利用指數體系表現的數量關係,推算出某個未知指數的值。

從數量上測定各因素的變動對現象總變動的影響，主要包括兩類問題：一類是對數量指標變動的因素分析；另一類是對質量指標變動的因素分析。下面就這兩類問題，說明利用指數體系進行因素分析的方法。

１、數量指標變動的指數分析

數量指標變動的指數分析可以考查多個影響因素的現象。其分析原理與考查兩個影響因素是類似的。因此，我們只討論雙因素分析方法。

由前面綜合指數的基本形式可以發現，某現象的總變動可用下述模型描述：

基本模式：

$\overline{k_{qp}} = \overline{k_{q}} \times \overline{k_{p}}$

模式 I： $\frac{\sum q_{1}p_{1}}{\sum q_{0}p_{0}} = \frac{\sum q_{1}p_{0}}{\sum q_{0}p_{0}} \times \frac{\sum q_{1}p_{1}}{\sum q_{1}p_{0}}$

模式 II ： $\frac{\sum q_{1}p_{1}}{\sum q_{0}p_{0}} = \frac{\sum q_{0}p_{1}}{\sum q_{0}p_{0}} \times \frac{\sum q_{1}p_{1}}{\sum q_{0}p_{1}}$

表2 指數計算表

單位：萬元

產品	按基期價格計算		按報告期價格計算		產值變動
	基期產值	報告期產值	基期產值	報告期產值	產值變動
	$p_{0}q_{0}$	$p_{0}q_{1}$	$p_{1}q_{0}$	$p_{1}q_{1}$	$p_{0}q_{1} - p_{0}q_{0}$	$p_{1}q_{1} - p_{0}q_{1}$
甲	10	11.5	10	11.5	0	0
乙	10	11.0	11	12.1	1	1.1
丙	6	6.3	7.5	7.875	1.5	1.575
合計	26	28.8	28.5	31.475	2.5	2.675

將表2的有關數據代入上述指數體系中，得到：

$\frac{31.475}{26} = \frac{28.8}{26} \times \frac{31.475}{28.8}$

$31.475-26=\left ( 28.8-26 \right ) + \left ( 31.475-28.5 \right )$

於是，從相對數和絕對數兩個方面分別表示產品產值、產品產量和產品價格三者數值變動的關係是：

121.06％＝110.77％×109.29％

5.475萬元＝2.8萬元＋2.675萬元

和：

121.06％＝109.61％×110.43％

5.475萬元＝2.5萬元＋2.975萬元

根據上述計算結果，就可以對該現象的變動情況進行分析。

2、質量指標變動的指數分析

在現實生活中，需要對兩個時期同一現象的質量指標的變動進行分析。例如,分析平均工資的變動；分析全員勞動生產率的變動；分析單位產品成本的變動等等。這些分析就要利用質量指標指數體系進行。下面我們以平均工資爲例說明其分析過程。

由於現象的總平均水平，一般都是在分組的條件下，用加權算術平均數計算的。因此，兩個時期同一現象總平均水平的變動,往往要受到兩個因素的共同影響,一個是各組平均水平變動的影響;另一個是總體內部結構變動的影響。爲了反映總平均指標的變動，並進一步分析組平均水平和總體內部結構變動對總平均水平變動的影響，需要計算三個指數：可變構成指數、固定構成指數和結構變動影響指數，並建立相應的指數體系作出因素分析。三個指數的計算公式及其指數體系爲：

基本模式爲： $\overline{k_{xf}} = \overline{k_{x}} \times \overline{k_{f}}$

同樣，具體模式也有兩種，我們只討論其中一種。

（1）可變構成指數 $\overline{k_{xf}} = \frac{\overline{x_{1}}}{x_{0}} = \frac{x_{1}f_{1}}{f_{1}} \div \frac{x_{0}f_{0}}{f_{0}}$

可變構成指數

式中：

$x_{1}$ —報告期組平均指標

$x_{0}$ —基期組平均指標

$f_{1}$ —報告期總體單位數

$f_{0}$ —基期總體單位數

可變構成指數受兩個因素變動的影響：

1）各組平均指標(x)變動的影響；

2）總體結構(f／∑f)變動的影響。

（2）固定構成指數

爲了反映各組平均水平變動的程度，消除總體結構變動的影響，需要編制固定構成指數，把總體結構固定在報告期。

固定構成指數： $\overline{k_{x}} = \frac{x_{1}f_{1}}{f_{1}} \div \frac{x_{0}f_{1}}{f_{1}}$

（3）結構變動影響指數

爲了反映總體結構變動對總平均水平變動的影響，將各組平均水平固定在基期,編制結構變動影響指數。

結構變動影響指數： $\overline{k_{f}} = \frac{\sum {x_{0}f_{1}}}{\sum{f_{1}}} \div \frac{\sum{x_{0}f_{0}}}{\sum{f_{0}}}$

上述三個指數構成如下指數體系：

可變構成指數＝固定構成指數×結構變動影響指數

即： $\frac{\frac{\sum x_{1}f_{1}}{\sum f_{1}}}{\frac{\sum x_{0}f_{0}}{\sum f_{0}}} = \frac{\frac{\sum x_{1}f_{1}}{\sum f_{1}}}{\frac{\sum x_{0}f_{1}}{\sum f_{1}}} \times \frac{\frac{\sum x_{0}f_{1}}{\sum f_{1}}}{\frac{\sum x_{0}f_{0}}{\sum f_{0}}}$

絕對數變動的關係是：

$\frac{\sum x_{1}f_{1}}{\sum f_{1}} - \frac{\sum x_{0}f_{0}}{\sum f_{0}}= \left ( \frac{\sum x_{1}f_{1}}{\sum f_{1}} - \frac{\sum x_{0}f_{1}}{\sum f_{1}} \right ) +\left ( \frac{\sum x_{0}f_{1}}{\sum f_{1}} - \frac{\sum x_{0}f_{0}}{\sum f_{0}} \right )$

現以表3企業職工平均工資的變動分析爲例說明其計算過程。

根據表3的資料，計算可變工資指數表明企業全體職工平均工資變動程度爲107.27％，提高7.27％，即：

可變工資指數爲： $\frac{590}{550} = 1.0727$ ，即107.27％

表3 某企業職工平均工資指數分析表

職工類別	職工人數(人)				平均工資(元)		工資總額(萬元)
	基期		報告期		基期 $x_{0}$	報告期 $x_{1}$	基期 $x_{0}f_{0}$	報告期 $x_{1}f_{1}$	假定 $x_{0}f_{1}$
	人數 $f_{0}$	比重 (％)	人數 $f_{1}$	比重 (％)
										老職工	250	50.0	180	30.0	700	800	1.75	1.44	1.26
新職工	250	50.0	420	70.0	400	500	1.00	2.10	1.68
合計	500	100	600	100	550	590	2.75	3.54	2.94

從表3的資料可以看出,企業職工的人員結構（比重）是有變動的。其工資水平較高的老職工人數所佔比重，從基期的50％下降到報告期的30％，而工資水平較低的新職工人數所佔比重，從基期的50％上升到報告期的70％。這就必然會影響企業職工總平均工資的提高。爲了消除人員結構變動的影響，應計算固定構成指數來反映企業新老職工兩組工資水平平均變動的程度，即：

固定工資指數： $\frac{590}{490} = 1.204$ ，即120.4％

爲了分析人員結構變動，對企業職工總平均工資變動的影響，應計算人員結構變動影響指數，即：

人員結構變動影響指數： $\frac{490}{550} = 0.8909$ ，即89.09％

根據前述指數體系可知，上述三個指數數值的關係是：

107.27％＝120.4％×89.09％

絕對數變動的關係是：

590－550＝(590－490)＋(490－550)

即：40元＝100元＋(－60元)

計算結果表明，企業新老職工的組平均水平的提高，使企業總平均工資可以提高20.4％，平均增加100元。但由於企業工資低的新職工人數比重增加，影響企業總平均工資下降10.91％，平均減少60元。兩個因素共同作用的結果，最終使企業職工的總平均工資只提高了7.27％，平均增加40元。

3、多因素分析

指數體系還可以由4個或4個以上的指數構成,以分析多個因素對總變動的影響作用。如下述模型:

（1）原材料消耗額=產品產量×單位產品原材料消耗量×單位原材料價格

（2）總產值=職工人數×工人數佔職工人數比重×工人勞動生產率

（3）利稅額=銷售量×銷售價格×利稅率

其基本模式爲:

$\frac{\sum q_{1}m_{1}p_{1}}{\sum q_{0}m_{0}p_{0}} = \frac{\sum q_{1}m_{0}p_{0}}{\sum q_{0}m_{0}p_{0}} \times \frac{\sum q_{1}m_{1}p_{0}}{\sum q_{1}m_{0}p_{0}} \times \frac{\sum q_{1}m_{1}p_{1}}{\sum q_{1}m_{1}p_{0}}$

以（1）爲例，式中：

第1部分爲原材料消耗額指數；

第2部分爲產品產量指數；

第3部分爲單位產品原材料消耗量指數；

第4部分爲單位產品原材料價格指數。

其絕對數分析模式爲：

$\sum q_{1}m_{1}p_{1} - \sum q_{0}m_{0}p_{0}= \left ( \sum q_{1}m_{0}p_{0} - \sum q_{0}m_{0}p_{0}\right ) + \left ( \sum q_{1}m_{1}p_{0} - \sum q_{1}m_{0}p_{0} \right ) +\left (\sum q_{1}m_{1}p_{1} \right - \sum q_{1}m_{1}p_{0} )$

表4多因素分析計算表

商品	銷售量(噸)		銷售價(元/公斤)		利稅率(%)		利稅額(元)
商品	基期	報告期	基期	報告期	基期	報告期	$q_{0}m_{0}p_{0}$	$q_{1}m_{0}p_{0}$	$q_{1}m_{1}p_{0}$	$q_{1}m_{1}p_{1}$
Ⅰ	80	82	25	22	30	32	600000	615000	541200	577280
Ⅱ	100	120	23	21	32	34	736000	883200	806400	856800
合計	—	—	—	—	—	—	1336000	1498200	1347600	1434080

以表4的有關數據爲例，可以進行分析計算。

計算結果，相對變動影響爲:

107.34% = 112.14% × 89.95% × 106.24%

絕對變動影響爲:

98080(元)=162200(元)+(-150600)(元)+86480(元)

[統計學筆記] （十三）指數分析（2）

（十三）指數分析（2）

SQL優化-20231016

[機器學習筆記] 機器學習常見算法總結（更新中）

[統計學筆記] （四）數據分佈的數字特徵

[機器學習筆記] （轉載學習）完整機器學習項目的工作流程

[機器學習筆記] 常用的分類與預測算法

[機器學習筆記] 用Python分析 TED演講數據（更新中）

https://yachay.unat.edu.pe/blog/index.php?comment_area=format_blog&comment_component=blog&comment_co

linux以太網驅動總結