1. 芯片測試
在講解具體的芯片測試的分治策略算法之前，先來了芯片測試的意思
1.1 一次測試的過程
如上圖，A、B爲芯片。測試方法爲：將2片芯片（A和B）置於測試臺上，互相進行測試，測試報告是“好”或者“壞”，只取其一。
- 假設：好芯片的報告一定是正確的，壞芯片的報告是不確定的（可能會出錯）
那麼上述測試的結果有四種可能,如下圖:
上面的結果應該不難理解
那麼現在問題來了:
- 輸入：n片芯片，其中好芯片，至少比壞芯片多一片
- 問題：設計一種測試方法，通過測試從n片中挑出1片好芯片
- 要求：使用最少的測試次數
1.2 如何測試一塊芯片的好壞
針對上述問題，現在先來研究一下，如何在上述n片芯片中，測試出A是好芯片還是壞芯片？
- 問題：給定芯片A，判定A的好壞
- 方法：用其他n-1片芯片對A進行測試。
假設：n=7:好芯片數>=4
- A好，6個芯片中至少3個報“好”
- A壞，6個芯片中至少4個報壞
所以對於n是奇數情況下：好芯片數>=（n+1）/2
A好，至少有(n-1)/2個報“好”
A壞，至少有(n+1)/2個報“壞”
結論：
至少一半報好，A是好芯片
超過一半報壞，A是壞芯片
假設: n=8:好芯片數>=5
- A好，7個芯片中至少4個報“好”
- A壞，7個芯片中至少5個報“壞”
所以對於n是偶數：好芯片數 >= n/2+1.
A 好, 至少有 n/2個報告“好”
A 壞, 至少有 n/2+1個報告“壞”
結論：n-1份報告中
至少一半報好，A是好芯片
至少一半報壞，A是壞芯片
上面的分析，已經很清晰，我們已經知道如何測試一塊芯片的好壞。那麼人們最拿手的方法就是：暴力算法（蠻力算法）可以直接寫代碼了。。。
1.3 蠻力算法
測試算法：任取 1片測試，如果是好芯片，測試結束；如果是壞芯片，拋棄，再從剩下芯片中任取 1片測試，直到得到 1片好芯片
時間估計：
第一片是壞芯片，最多測試n-2次
第二片是壞芯片，最多測試n-3次
…
總計：Θ(n^2 )
#include<iostream>
#include<cmath>
#include <stdio.h>
#include <time.h>
#include <stdlib.h>
#include <cstring>
#define MAX 100
using namespace std;
int main(){
int n;
int a[MAX];
while(cin>>n){
srand(time(NULL));
memset(a,0,sizeof(a));
for(int i=1;i<=n;i++){ /*芯片編號爲數組下標，從1開始*/
cin>>a[i]; /*數組值代表芯片好壞，1爲真0爲假*/
}
int cnt=0; /*查找次數*/
for(int i=1;i<=n;i++){
int sum=0;
for(int j=1;j<=n;j++){
cnt++;
if(i!=j&&a[i]==1&&a[j]==1) /*兩片芯片都是好的*/
sum++;
if(i!=j&&a[i]==1&&a[j]==0) /*測試芯片是壞的*/
sum+=rand()%2;
if(i!=j&&a[i]==0&&a[j]==0) /*兩片芯片都是壞的*/
sum+=rand()%2;
}
if(sum>=n/2){
cout<<"查找次數："<<cnt<<endl;
break;
}
}
}
return 0;
}
可見時間複雜度之高，數據量一多，肯定會超時。
1.4 分治算法設計思想
在分析分治算法的正確性之前，我們先給出這個算法的描述：
假設n爲偶數，將n片芯片兩兩一組做測試淘汰，剩下芯片構成子問題，進入下一輪分組淘汰。
淘汰規則爲：
- “好，好” ==> 任留1片，進入下輪
- 其他情況 ==> 全部拋棄
遞歸截止條件：n<=3
3片芯片，一次測試可得到好芯片
1或者2片芯片，不需要再測試，他們都爲好芯片。
上述算法過程就是我們給出的分治策略的設計。那麼爲什麼上述的策略是正確的呢？
回憶一下，前面的文章，要保證分治策略的正確性的基本條件是：子問題與原問題性質相同。下面我們就來證明，上述分治策略的子問題與原問題性質相同。
1.41 分治算法的正確性證明
原問題：n片芯片，其中好芯片，至少比壞芯片多一片
那麼子問題，命題1：當 n 是偶數時，在上述淘汰規則下，經過一輪淘汰，剩下的好芯片比壞芯片至少多1片
我們需要證明上述子問題的命題1是正確的。
證明：假設原問題中A，B都好的芯片有i組，A與B一好一壞的有j組，A與B都壞的有k組。那麼經過一輪淘汰後，好芯片還剩i片，壞芯片還剩k片。
因爲
- 初始芯片總數 2i+2j+2k = n
- 初始好芯片多於壞芯片：2i+j > 2k+j
得出：i>k
所以，剩餘的芯片好芯片比壞芯片，至少多1片。命題1 是正確的。即證明了上述分治算法的正確性。
當n爲奇數時，特殊處理。當n是奇數時，可能會出現問題，如圖：
可見淘汰後的子問題並不滿足於原問題性質相同，此時無法繼續測試。
- 處理辦法是：當n爲奇數時，增加一輪對輪空芯片的單獨測試，如果該輪空芯片爲好芯片則算法結束，如果是壞芯片，則淘汰該芯片。
下面給出上述分治算法的僞碼描述：
補充說明：
- 第6點：
if(1好1壞)，則說明測試的兩個至少一個爲壞，所以未參加測試的一定爲好的 - 第7點：由於題目初始條件，好的芯片一定比壞的芯片多
1.42 時間複雜度分析
設輸入規模爲n，，每輪淘汰後，芯片數至少減半，測試次數（含輪空處理）：O(n)
時間複雜度：
W(n) = W(n/2) + O(n)
W(3)=1,W(2)=W(1)=0
解上述方程的得：W(n) = O(n)
結果很振奮人心，你已經將一個O(n^2)級別的算法優化爲了O(n)O(n)O(n)級別!!!
2. 總結
最大的需要注意的地方就是：如何保證子問題與原問題性質相同:
可以：
- 增加額外處理（比如上述n爲奇數時對輪空數據的處理）
- 額外處理的工作量，不改變函數的階
#include<iostream>
#include <cmath>
#include <stdio.h>
#include <time.h>
#include <stdlib.h>
#include <cstring>
#define MAX 100
using namespace std;
int main(){
int n;
int num1,num2,sum;
int a[MAX],b[MAX];
while(cin>>n){
srand(time(NULL));
memset(a,0,sizeof(a));
memset(b,0,sizeof(b));
/*a數組標記芯片好壞，b數組記錄被保留芯片編號*/
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
b[i]=i;
}
num1=n;
num2=1;
sum=0;
while(1){
/*芯片只剩一片或兩片則可以直接得到結果，結束循環*/
if(num1<=2)
break;
else if(num1%2){ /*芯片個數爲奇數*/
for(int i=1;i<num1;i+=2){
sum++; /*記錄查找次數*/
if(a[b[i]]==1&&a[b[i+1]]==1) /*兩片芯片都是好的*/
b[num2++]=b[i+rand()%2];
/*兩片芯片是壞的，rand模擬結果是好的這一隨機現象*/
if(a[b[i]]==0&&a[b[i+1]]==0&&rand()%2)
b[num2++]=b[i+rand()%2];
}
b[num2++]=b[num1]; /*最後一塊芯片保留*/
}
else{ /*芯片個數爲偶數*/
for(int i=1;i<=num1;i+=2){
sum++;
if(a[b[i]]==1&&a[b[i+1]]==1) /*兩片芯片都是好的*/
b[num2++]=b[i+rand()%2];
if(a[b[i]]==0&&a[b[i+1]]==0&&rand()%2) /*兩片芯片是壞的*/
b[num2++]=b[i+rand()%2];
}
}
num1=num2-1; /*一次比較後保留芯片的個數*/
num2=1; /*下一次查找的開始位置*/
}
cout<<"查找次數："<<sum<<endl;
cout<<"找到的芯片編號："<<b[1]<<endl;
}
return 0;
}
參考鏈接：https://www.jianshu.com/p/1cec17bfb2d5
參考鏈接：https://blog.csdn.net/qq_37375427/article/details/102529005