算法筆記---問題 A: 最長上升子序列（LIS）

題目描述

一個數列ai如果滿足條件a1 < a2 < … < aN，那麼它是一個有序的上升數列。我們取數列(a1, a2, …, aN)的任一子序列(ai1, ai2, …, aiK)使得1 <= i1 < i2 < … < iK <= N。例如，數列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)的有序上升子序列，像(1, 7)， (3, 4, 8)和許多其他的子序列。在所有的子序列中，最長的上升子序列的長度是4，如(1, 3, 5, 8)。

現在你要寫一個程序，從給出的數列中找到它的最長上升子序列。

輸入

輸入包含兩行，第一行只有一個整數N（1 <= N <= 1000），表示數列的長度。
第二行有N個自然數ai，0 <= ai <= 10000，兩個數之間用空格隔開。

輸出

輸出只有一行，包含一個整數，表示最長上升子序列的長度。

樣例

輸入：
7
1 7 3 5 9 4 8
輸出：
4

解題思路：
使用動態規劃求解
與之前 算法筆記—動態規劃：問題 A: 最大連續子序列 類似
dp[i] 表示以nums[i] 結尾的數字的最長上升子序列。
如果不是很清楚算法過程，下面給出算法筆記中的舉例講解，非常形象和詳細：

下面爲AC代碼：

題目只需要求出最長上升子序列的長度即可，下面註釋的部分代碼表示上升子序列具體的數字，若只需通過題目測試，則註釋掉即可，不影響代碼通過。

/*
 * @Description: 最長不下降子序列
 * @Author: 
 * @Date: 2020-05-03 13:54:59
 * @LastEditTime: 2020-05-03 14:34:20
 * @LastEditors: Please set LastEditors
 */
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<string>
using namespace std;
const int max_n = 10010;
int nums[max_n];//存放原始數字序列
int dp[max_n];//dp[i] 表示以 nums[i] 結尾的最長不下降子序列

int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i = 1;i <= n; i++){
        cin>>nums[i];
    }
    fill(dp,dp + max_n,0);
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        dp[i] = 1;//初始時，dp[i] = 1; 即每個數字先自成一個序列
        for(int j = 1;j < i;j++){
            if(nums[i] >= nums[j] && (dp[j] + 1 > dp[i]) ){
                dp[i] = dp[j] + 1;
            }
        }
    }
    int k = 0;//用來記錄最大的 dp[i] 的下標
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        if(dp[k] < dp[i]){
            k = i;
        }
    }
    cout << dp[k]; //輸出最大長度
    //cout << endl;
    //下面爲求解選中的元素
    // stack<int> path;
    // while(dp[k] - 1){
    //     path.push(nums[k]);
    //     for(int i = k;i >=1;i--){
    //         if( (dp[k] - 1) == dp[i]){
    //             k = i;
    //             break;
    //         }
    //     }
    // }
    // path.push(nums[k]);//將最開始的元素添加進選中的元素
    // while(!path.empty()){
    //     int top = path.top();
    //     path.pop();
    //     cout<<top<<" ";
    // }
    system("pause");
    return 0;
}