中國剩餘定理(超詳細講解)

孫子問題

最早，在《孫子算經》中有這樣一個問題：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？用白話描述就是，現在有一個數不知道是多少，只知道這個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2， 問這個數是多少？

上面的問題可以轉換爲以下這樣一個方程組:

$\begin{cases} x \quad mod \quad 3 =2\\ x \quad mod \quad 5 =3\\ x \quad mod \quad 7 =2\\ \end{cases}$

其中這個$x$就是我們要求的數。而中國剩餘定理就是用來解決上述形式的方程組的$x$解的。

解答講解

在開始解答這個問題之前，我們先來了解一下幾個數論基本知識。

基本等式

$(1)a \quad mod \quad b=(a+k*b) \quad mod \quad b$

$(2)(a*k) \quad mod \quad b=k*(a \quad mod \quad b)$

需要注意:$\\a \equiv b(mod \quad c)$的意思是$a \quad mod \quad c = b \quad mod \quad c$

在瞭解兩個基本等式之後我們就可以對上述方程組做一些變換了:
$\begin{cases} x =k_1*3+2\\ x =k_2* 5 +3\\ x =k_3*7+ 2\\ \end{cases}$

直接看上面的方程組，好像直接求解出$k_1、k_2、k_3$不太現實，所以我們需要另尋出路。在這裏我們先假設三個數，分別是$n_1、n_2、n_3$,滿足一下條件:
$\begin{cases} n_1 \quad mod \quad 3=2\\ n_2 \quad mod \quad 5=3\\ n_3 \quad mod \quad 7=2\\ \end{cases}$
假如$n_2、n_3$均能整除3的話，那麼按照等式$(1)$就有:

$\begin{cases} n_2 =k_2'*3\\ n_3 =k_3'*3\\ \end{cases}\\$

$(n_1+k_2'*3+k_3'*3) \quad mod \quad 3=n_1 \quad mod \quad 3=2\\ (n_1+n_2+n_3) \quad mod \quad 3 =2\\$

那麼我們繼續假如$n_1、n_3$能被5整除，$n_1、n_2$能被7整除，那麼就有:
$\begin{cases} (n_1+n_2+n_3) \quad mod \quad 3=2\\ (n_1+n_2+n_3) \quad mod \quad 5=3\\ (n_1+n_2+n_3) \quad mod \quad 7=2\\ \end{cases}$

對比題目中的方程組，可以看出只要滿足以下條件就能使我們需要求解的$x=(n_1+n_2+n_3)$:

1. $n_1$除以3餘2，且是5和7的公倍數。
2. $n_2$除以5餘3，且是3和7的公倍數。
3. $n_3$除以7餘2，且是3和5的公倍數。

我們只需要將$n_1、n_2、n_3$求出來後相加即可得我們想求的$x$值。不過，這只是其中一個解，並不是最小解。要求最小解我們還需要除以$n_1、n_2、n_3$的最大公約數。

這裏呢，我們以$n_1$求解爲例，$n_2、n_3$求解過程類似。

求解$n_1$過程

首先我們先羅列一下基本約束條件:

$\begin{cases} n_1 \quad mod \quad 3 =2\\ n_1 = 5 * k_2'\\ n_1 = 7 * k_3'\\ \end{cases}$

根據等式$(2)$，可以得到:

$n_1 \quad mod \quad 3 =2*(\dfrac{n_1}{2} \quad mod \quad 3)=2$

$\dfrac{n_1}{2} \quad mod \quad3 =1$

如果$\dfrac{n_1}{2}$是5、7的整數倍，那麼$n_1$自然也是5、7的整數倍。不過在這裏呢，我們並沒有從5和7的公倍數中直接找一個除以3餘2的數，而是先找一個除以3餘1的數，再乘以2。也就是先求出5和7的公倍數模3下的逆元，再用逆元去乘餘數。具體過程如下:參考來源

推算過程如下:

$首先我們令K=\dfrac{n_1}{2},$

$因爲\\\quad K \quad mod \quad3 =1(K是5和7的整數倍),\\所以\\\quad gcd(5*7,3)=1,即35與3互質，由拓展歐幾里得算有:\\\quad K\equiv1(mod \quad3)\Rarr K=a*x=(5*7)*x\equiv1(mod \quad 3)\\\quad 35*x+3*y=1\Rarr整數解爲:\begin{cases}x=2,\\y=-23,\end{cases}\\可求得a的逆元x=2,則K=70\Rarr n_1=2*K=140$

$類似,可求出n_2=63，n_3=30\Rarr x=(n_1+n_2+n_3)=233$

$不過此時並不是最小數，我們還需要將233\div(3、5、7)_{最大公約數105}=23，這纔是符合條件的最小數$

最大公倍數=各個數的乘積$\div$最大公約數，最大公約數可使用輾轉相除法獲取(歐幾里得算法)

中國剩餘定理公式

設正整數$m_1,m_2,...,m_k,$兩兩互素，則同餘方程組:
$\begin{cases} x\equiv a_1(mod \quad m_1)\\ x\equiv a_2(mod \quad m_2)\\ ......\\ x\equiv a_k(mod \quad m_k)\\ \end{cases}$
有整數解。並且在模$M=m_1*m_2*...*m_k$下的解是唯一的，解爲

$x\equiv(a_1M_1M_1^{-1}+a_2M_2M_2^{-1}+...+a_kM_kM_k^{-1})mod \quad M$

其中$M_i=\dfrac{M}{m_i}$，而$M_i$模$m_i$的逆元。

關於擴展歐幾里得算法

參考文章:歐幾里德算法與擴展歐幾里德算法

用途

用來求解形如$ax + by = c(a, b, c \in Z)$的方程的一組整數解.。

使用條件

$c \quad mod \quad gcd(a,b)=0,gcd(a,b)表示a/b的最大公約數$

求解過程

$求解方程:ax+by=gcd(a,b)\\$

$(1)當 b = 0 時，原方程可化爲 ax = gcd(a, 0) \Rarr 解得:​​\begin{cases}x=1\\y=0 \end{cases}$
$(2)設 a' = b, b' = a \quad mod \quad b,有如下方程:$

$\begin{cases} a'x'+b'y'=gcd(a',b​')=gcd(b,a \quad mod \quad b)\\ ax + by = \gcd(a, b) \end{cases}$

$另有恆等式:gcd(a,b)=gcd(b,amodb)，則:$

$ax+by=a'x'+b'y'=bx'+(a\quad mod\quad b)y'=bx'+(a−⌊​\dfrac{a}{b}​​⌋b)y'$
$整理得:$
$ax+by==bx'+(a−⌊​\dfrac{a}{b}​​⌋b)y'\\ \Darr\\ \begin{cases} x=y'\\ y=x​'−⌊\dfrac{a}{b}​​​​⌋y​' \end{cases}$
通過上述這個解可知道，如果反覆迭代遞歸，最終一定會到達臨界條件$b=0$,即情況$(1)$,從而計算出最終值。