餘數的數學定義和性質

前言

在密碼學中，求餘是非常重要的操作，比如在DH算法中，就主要利用了求餘的算法。本文就餘數計算和相關性質進行介紹。

定義

給定 $a, b, q, r \in \mathbb{Z}$, 其中 $b \neq 0，0 \leq r \leq b$, 滿足 $q \times b + r = a$，則稱 $r$ 是 $a$ 除以 $b$ 的餘數，記作 $a \div b = q \cdot\cdot\cdot r$。當 $r = 0$ 時，稱 $a$ 可以被 $b$ 整除。

推理

根據 $a \div b = q \cdot\cdot\cdot r$，對表達式中的4個變量求法分別如下：
1）$a = b \times q + r$
2）$b = (a - r) \div q$
3）$q = (a - r) \div b$
4）$r = a \ \mathrm{mod} \ b$ (也記爲 $a$ % $b$)

性質

給定 $a, b, c, r \in \mathbb{Z}$ 且 $c \neq 0，0 \leq r \leq c$，則有以下三個性質。

性質1 若 $a \ \mathrm{mod} \ c = b \ \mathrm{mod} \ c$，則 $(a-b) \ \mathrm{mod} c =0$。當 $a - b$ 改爲 $b - a$時，結論同樣成立。
示例：如 22 mod 7 = 1, 15 mod 7 = 1，則(22-15) $\div$ 7 = 0 或 (15-22) $\div$ 7 = 0。

性質2 若 $(a + c) \ \mathrm{mod} \ b = r$, 則 $((a \ \mathrm{mod} \ b) + (c \ \mathrm{mod} \ b)) \ \mathrm{mod} \ c = r$。當正號改爲負號時，等式同樣成立。
示例：如 (3 + 8) mod 5 = 1，而 ((3 mod 5) + (8 mod 5)) mod 5 = (3 + 3) mod 5 = 1。
當正號變負時，(3-8) mod 5 = 0, 而 ((3 mod 5) - (8 mod 5)) mod 5 = 0 mod 5 = 0。

性質3 $(a \times c) \ \mathrm{mod} \ b = (a \ \mathrm{mod} \ b) \times (b \ \mathrm{mod} \ b)$。當 $a \ \mathrm{mod} \ c = 0$ 時，乘號改爲除號由於不能保證整除，所以無法保證成立。
示例：(7 $\times$ 9) mod 5 = 3，而((7 mod 5) $\times$ (9 mod 5)) mod 5 = (2 $\times$ 4) mod 5 = 3。