兩數的最大公約數算法基礎及優化

師從

本篇是觀Vita君算法視頻後總結，他是bilibili一位小up主：小學生Vita君
正所謂“生乎吾後，其聞道也亦先乎吾，吾從而師之”，誠然如此。

輾轉相除法（歐幾里得算法）

int gcd1(int a, int b)
{
	return b ? gcd1(b, b % a) : a;
}

時間複雜度

O(logn)

更相減損術（《九章算術》）

int gcd2(int a, int b)
{
	if (a == b) return a;
	return (a > b) ? gcd2(a - b, b) : gcd2(a, b - a);
}

時間複雜度

O(n)

二分化更相減損術

int gcd3(int a, int b)
{
	if (a == b) return a;
	if (a & 1) {
		if (b & 1) return (a > b) ? gcd3(a - b, b) : gcd3(b - a, a);//4）
		return gcd3(a, b >> 1);//3）
	}
	if (b & 1) return gcd3(a >> 1, b);//2）
	return gcd3(a >> 1, b >> 1) << 1;//1）
}

思路

① a爲偶數，b爲偶數，gcd(a,b)=gcd(a/2,b/2)*2；
② a爲偶數，b爲奇數，gcd(a,b)=gcd(a/2,b)；
③ a爲奇數，b爲偶數，gcd(a,b)=gcd(a,b/2)；
④ a爲奇數，b爲奇數，a>b時，gcd(a,b)=gcd(a-b,b)， a<b時，gcd(a,b)=gcd(a,b-a)

優化

1）規避了性能較差的模運算；
2）改善了更相減損術的效率；
3）其中的位運算分別對速度優化
/////a & 1，將a的二進制數與1進行與運算，實現a % 2；
/////a >> 1，將a的二進制數右移一位，實現a / 2；
/////a << 1，將a的二進制數左移一位，實現a * 2；

時間複雜度

O(logn)