單源最短路問題（1）—樸素Dijkstra算法及其堆優化

常見的最短路問題分爲兩類：單源最短路（從一個點到其他所有點）、多源匯最短路（任意兩點）

1、在單源最短路問題中，若所有的邊都是非負數，使用Dijkstra算法；若存在負權邊，那麼可以使用Bellman-Ford算法，SPFA是對前者優化。關於算法原理的介紹有很多，這裏不再詳述。

（1）樸素Dijkstra算法，時間複雜度O(n ^ 2)，通常在稠密圖的時候使用（邊的數量級大概爲點的數量級的平方），使用鄰接矩陣存圖。可以根據題目要求的時間複雜度來選擇使用哪種方法。

第一次循環：t = 1, dist[1] = 0, dist[2] = 2, dist[3] = 3, dist[4] = 0x3f3f3f3f, st[1] = true

第二次循環：t = 2, dist[1] = 0; dist[2] = 2, dist[3] = 3, dist[4] = 3, st[2] = true

第三次循環：t = 3, dist[1] = 0, dist[2] = 2, dist[3] = 3, dist[4] = 3, st[3] = true

結束

示例代碼：提供n個點，m條邊的有向邊，存在自環和重邊，計算一點到另一點的最短距離（題目出自AcWing）

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;
        
const int N = 510;

int n, m;
int g[N][N];    //鄰接矩陣存稠密圖
int dist[N];    //存每一個點到起點的最短距離
bool st[N];     //記錄每一個點是否被用來執行過鬆弛操作

int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);   //將距離初始化爲一個很大的值
    dist[1] = 0;        //取1爲起點，起點可任取
    
    for(int i = 0; i < n - 1; i ++)     //執行n - 1次， 因爲最後一個數字不需要用它來進行鬆弛操作了
    {
        int t = -1; //存st[]爲false的點中，那個點的dist[]最小
        for(int j = 1; j <= n; j ++)
        {
            if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;
        }
        
        for(int j = 1; j <= n; j ++)    //用t這個點來更新st[]爲false的所有點的dist[]
        {
            dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
        }
        
        st[t] = true;   //表示t這個點被用來執行過鬆弛操作了，也表示dist[t]，已經確定最小值了
    }
    
    if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;    //取n爲終點，-1表示不能到達，終點可任取
    return dist[n];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    memset(g, 0x3f, sizeof g);  //將每條邊初始化爲一個很大的值
    while(m --)
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        g[a][b] = min(g[a][b], c);  //處理重邊
    }
    
    printf("%d\n", dijkstra());
    
    return 0;
}

（2）堆優化版的Dijkstra算法，通常稀疏圖使用（邊與點的數量級大概相當），用鄰接表存圖，時間複雜度O(mlogn)

這裏使用一個小根堆優化樸素方法裏面，尋找最小的dist的點，使用了貪心的思想。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstring>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 1500010;

int n, m;
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       //鄰接表存圖
int dist[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;        //取1爲起點
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
    heap.push({0, 1});      //first 爲距離， second 爲點的編號
    
    while(heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();
        
        int point = t.second, distance = t.first;
        
        if(st[point]) continue;     //這個點被用過了
        st[point] = true;
        
        for(int i = h[point]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if(dist[j] > distance + w[i])
            {
                dist[j] = distance + w[i];
                heap.push({dist[j], j});    //最小的距離會自動排到堆頂
            }
        }
    }
    
    if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    while(m --)
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
    }
    
    printf("%d\n", dijkstra());
    return 0;
}