五邊形數 筆記

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近日，一國外小哥學習了這個定理，竟然能預處理出整數劃分的方案數！快跟小編來看看吧

這個小哥學習的定理，就是小編（我）接下來要講的五邊形數定理

好的，讓我們一起來看看這個定理吧

五邊形數是啥

百度百科

用圖來講，就是若干個點，排成若干個五邊形，需要多少個點。

百度百科上有一個很清楚的圖：

它的通項公式爲 $a_n=\dfrac{n(3n-1)}{2}$，前面幾項是 $0, 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210...$。你可以在 OEIS 上找到它，是序列 A000326

我們要研究的是 廣義五邊形數，是這樣一個數列：$p=a_0,a_{1},a_{-1},a_{2},a_{-2}...$

其中，如果 $p$ 的下標是負數，照樣代入到上面的通項公式裏算即可。容易證明，當 $n<0$ 時，$p_n$ 也是正的。前面幾項是 $0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117...$，同樣可以在 OEIS 上找到它是 A001318

它能幹啥

歐拉函數（五邊形數）

（爲了和歐拉數論函數區別開來，這裏給它起名叫歐拉函數-五邊形數(*/ω＼*)

是這樣一個函數：$\varphi(x)=(1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)...(1-x^\infin)=\prod\limits_{i=1}^{\infin} (1-x^i)$

這東西有一個很神奇的性質。如果你閒的沒事，可以暴力拆開它，發現它等於

$x^0-x^1-x^2+x^5+x^7-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}...=\sum\limits_{i=1}^{\infin} (-1)^{(i+1)/2} x^{p_i}$

係數：一個正，兩個負，兩個正，兩個負，兩個正，兩個負…

指數：廣義五邊形數

與整數劃分問題的聯繫

然後我們可以來解決整數劃分問題。設 $P(n)$ 表示將 $n$ 分成若干個整數的無序方案（即，$a+b$ 和 $b+a$ 只算一次），同一個數可以用很多次。

比如，$P(4)=5$，因爲 $4$

$=1+1+1+1$

$=1+1+2$

$=1+3$

$=2+2$

$=4$

特殊地，$P(0)=1$

我們求出 $P(n)$ 的生成函數 $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infin} P(n)x^n$

給它換個定義：我們要選出若干個（可以是 $0$ 個） $1$，若干個 $2$，若干個 $3$…使得選出來的所有數和爲 $n$。

這樣就好考慮了。看這個式子：

$(1+x+x^2+x^3...)(1+x^2+(x^2)^2+(x^2)^3...)(1+x^3+(x^3)^2+(x^3)^3...)...$

第一個因式表示我們能隨便選擇用多少個 $x^1$

第二個因式表示我們能隨便選擇用多少個 $x^2$

…

乘起來之後，考慮 $x^n$ 的係數，你會發現它就是 $P(n)$！是不是特別巧妙φ(>ω<*)

於是 $f(x)=(1+x+x^2+x^3...)(1+x^2+(x^2)^2+(x^2)^3...)(1+x^3+(x^3)^2+(x^3)^3...)...=\prod\limits_{n=1}^{\infin} \sum\limits_{i=0}^{\infin} (x^n)^i$

然後我們用等比數列求和公式化一下，得到：

$f(x)=\prod\limits_{n=1}^{\infin} \dfrac{1}{1-x^n}$

我們發現它就是歐拉函數-五邊形數的倒數(/≧▽≦/)！

即

$\varphi(x)f(x)=1$

也就是

$(1-x-x^2+x^5+x^7-x^{12}-x^{15}...)(\sum\limits_{n=0}^{\infin} P(n)x^n)=1$

觀察其中 $x^n$ 項的係數（分別考慮左邊和右邊的括號出的是幾次項），容易發現這個係數應該是 $P(n)-P(n-1)-P(n-2)+P(n-5)+P(n-7)...$

$n=0$ 時，這個式子顯然爲 $1$。那麼 $n>0$ 時， $x^n$ 乘以它的係數的和就得是 $0$ 了。

然後我們發現等式右邊是 $1$。並且原式爲恆等式，所以 $x$ 取任何值都成立。爲了讓 $x$ 取任何值時等式都成立，對於 $n>0$ 時，$P(n)-P(n-1)-P(n-2)$ 這個可憐的等式只好取 $0$ 了。

然後就得到了：

$P(n)-P(n-1)-P(n-2)+P(n-5)+P(n-7)-P(n-12)-P(n-15)...=0$

於是 $P(n)=P(n-1)+P(n-2)-P(n-5)-P(n-7)+P(n-12)+P(n-15)...$

然後 $\le n$ 的五邊形數是 $\sqrt{n}$ 級別的（注意到五邊形數的通項公式是二次的）

於是我們可以遞推出 $P(n)$，是 $O(n\sqrt{n})$ 的，是不是很厲害呢(✪ω✪)

好了，以上就是這個定理的全部內容了，喜歡記得收藏起來喲