cdq分治 筆記

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算法講解

這個算法用於解決三維偏序問題。

三維偏序：給定 $n$ 個三元組： $(a_i,b_i,c_i)$，求同時滿足滿足 $a_i\le a_j,b_i\le b_j,c_i\le c_j$ 的 $(i,j)$ 的數量。

那這該咋求呢⊙(・◇・)？

先把維度降下來，二維偏序，會不會做？就是求多少個 $(i,j)$ 滿足 $a_i\le a_j,b_i\le b_j$。

顯然，先按照 $a$ 排一下序。然後就變成了 $i<j,b_i\le b_j$ 的問題了。可以用樹狀數組做。最典型的案例就是逆序對問題，這個都寫熟練了哈(*╹▽╹*)

三維偏序的問題，也是先按 $a$ 排一下序。然後接下來的問題考慮分治（這樣的分治過程被我們稱爲“cdq分治”）

假設我們要求 $[l,r]$ 中的答案。已經求好了 $[l,mid],[mid+1,r]$ 中的答案，現在只需要考慮跨區的答案了。

那麼我們可以把 $[l,mid]$ 和 $[mid+1,r]$ 內部都按照 $b$ 排序。因爲我們只要考慮跨區的答案，那麼我們把兩邊分別都隨便排序，對跨區的時候 $a$ 的大小關係沒有影響。然後我們在 $[mid+1,r]$ 中枚舉一個元素 $j$，找到在 $[l,mid]$ 中有多少個 $i$ 滿足 $b_i\le b_j$，然後這個 $i$ 顯然是遞增的。然後我們一邊單調的維護這個 $i$ ，一邊用樹狀數組維護 $c_i\le c_j$ 的數量即可。

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洛谷3810 陌上花開

（↑代碼找我老婆要）（那張圖是一個鏈接(*^▽*)）（偷偷測試功能）