exkmp 筆記

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exkmp 用於求解這樣的問題：

求文本串 $T$ 的每一個後綴與模式串 $M$ 的匹配長度（即最長公共前綴長度）。特別的，取 $M=T$，得到的這個長度被稱爲 $Z$ 函數。“函數”只是一個叫法，它本質上是個數組…爲了好聽，後面叫他“$Z$ 數組” （互聯網上的確有人這麼叫）

符號(字符串)

$|S|$ 表示 $S$ 的長度

$S[l:r]$ 表示 $S$ 從 $l$ 到 $r$ 的子串。如果 $l$ 空着，默認爲 $1$；同理 $r$ 默認爲 $|S|$。

也就是 $S[:x]$ 表示 $S$ 到 $x$ 結束的前綴，$S[x:]$ 表示 $S$ 從 $x$ 開始的後綴。

$LCP(S_1,S_2)$ 表示 $S_1,S_2$ 的 最長公共前綴 （Longest Common Prefix）

算法講解

設 $p_i=LCP(T_i,M)$

定義從 $l$ 開始的匹配區間爲 $[l,l+p_l-1]$ （設 $l+p_l-1=r$）

我們枚舉處理。假設現在已經求好了 $[1,i-1]$ 的 $p$ 數組，要求 $p_i$。記錄一個 最靠後 的匹配區間 $[l,r]$ （$l<i$，以 $r$ 靠後爲第一關鍵字，$l$ 靠後爲第二關鍵字），考慮直接從 $[l,r]$ 中繼承點答案來，那很顯然一個前提就是 $i\le r$ （你 $i$ 在 $r$ 外面繼承啥）

顯然，$p_i\ge LCP(T[i:r],M)$ （因爲 $T[i:r]$ 是 $T[i:]$ 前綴）

由定義， $[l,r]$ 是最長匹配長度，可知 $T[l:r]=M[1:r-l+1]$。

然後現在假如 $l<i\le r$，那麼顯然 $T[i:r]=M[i-l+1:r-l+1]$

那麼 $LCP(T[i:r],M)=LCP(M[i-l+1:r-l+1],M)$

簡單想一下，$LCP(A[l:r],A)=min(LCP(A[l:],A),r-l+1)$

我們要求 $[l,r]$ 子串與整個串的 $LCP$，可以先求以 $l$ 開頭的整個後綴的與整個串的 $LCP$，然後和區間長度取 $min$。這顯然正確。

然後有：

$LCP(M[i-l+1:r-l+1],M)=min(LCP(M[i-l+1:],M),(r-l+1)-(i-l+1+1))$

右邊的 $-l+1$ 兩個抵消了，就變成 $r-i+1$

然後前面是 $LCP(M[i-l+1:],M)$ 。這不就是 $M$ 的 $Z$ 數組的第 $i-l+1$ 個位置嗎！（還記得 $Z$ 數組的定義嗎？）

覺得看字母理解不了的看圖（自己畫的）（純鼠標）：

紅色的部分就是我們推出來的匹配部分。然後現在我們把 $M$ 移到 $i$ 開頭的位置來匹配，就相當於把 $M[i-l+1:r-l+1]$ 這一段（紅色）移到 $M$ 的開頭處匹配。這一段匹配的長度就是 $min(Z_{i-l+1},r-i+1)$。

假設我們現在能求這個 $Z$ 數組，那麼我們已經知道 $p_i$ 的最小值了 ，就是 $min(Z_{i-l+1},r-i+1)$ 。從這個位置開始暴力即可。這樣就不用每次從 $1$ 開始匹配了。

求完 $p_i$ 之後，記得用 $[i,i+p_i-1]$ 更新 $[l,r]$。

時間是線性的，我不會證，可以參考網上的證明。

如何求 Z 數組

我們發現 $Z$ 數組就是自己和自己匹配的過程。然後我們把上面過程中 $M$ 換成 $T$ 即可。

所以我們還是記錄一個最靠後的匹配區間 $[l,r]$，然後 $p_i$ 就相當於 $Z_i$ 了。

易得：

$Z_i=min(LCP(M[i-l+1:],M),r-i+1)=min(LCP(T[i-l+1:],T),r-i+1)=min(Z_{i-l+1},r-i+1)$

求完 $Z_i$ 之後，記得用 $[i,i+Z_i-1]$ 來更新 $[l,r]$。

一樣，也是從這裏開始暴力即可。時間複雜度依然是線性的，可以參考網上的證明。

模板

洛谷板子

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 20000007
#define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
#define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
#define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
#define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
#define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
#define FK(x) MEM(x,0)
#define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),v=G.To(i))
#define p_b push_back
#define sz(a) ((int)a.size())
#define all(a) a.begin(),a.end()
#define iter(a,p) (a.begin()+p)
#define Flandre_Scarlet int
#define IsMyWife main
char _c;
int I()
{
    int x=0; int f=1;
    while(_c<'0' or _c>'9') f=(_c=='-')?-1:1,_c=getchar();
    while(_c>='0' and _c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(_c^48),_c=getchar();
    return (x=(f==1)?x:-x);
}
void Rd(int cnt,...)
{
    va_list args; va_start(args,cnt);
    F(i,1,cnt) {int* x=va_arg(args,int*);(*x)=I();}
    va_end(args);
}

char a[N],b[N];
void Input()
{
	scanf("%s%s",a+1,b+1);
}
int z[N];
void Z(char s[]) // 求 Z 函數
{
	int n=strlen(s+1);
	z[1]=n; F(i,2,n) z[i]=0;
    // Z[1]=n 特判，同時也是遞推邊界
	int l=0,r=0;
	F(i,2,n) 
	{
		if (i<=r) z[i]=min(z[i-l+1],r-i+1); // 推理出下界
		while(i+z[i]<=n and s[i+z[i]]==s[z[i]+1]) ++z[i]; // 暴力
		if (i+z[i]-1>=r) l=i,r=i+z[i]-1; // 更新最靠後的匹配位置
	}
}
int p[N];
void ExKmp(char s[],char t[])
{
	int n=strlen(s+1);
	Z(t);
	int l=0,r=0;
	F(i,1,n)
	{
		if (i<=r) p[i]=min(z[i-l+1],r-i+1); // 推理出下界
		while(i+p[i]<=n and s[i+p[i]]==t[p[i]+1]) ++p[i]; // 暴力
		if (i+p[i]-1>r) l=i,r=i+p[i]-1; // 更新最靠後的匹配位置
	}
}
void Soviet()
{
	ExKmp(a,b);
	int n=strlen(a+1),m=strlen(b+1);
	long long ans=0;
	F(i,1,m) ans^=1ll*i*(z[i]+1);
	printf("%lld\n",ans);
	ans=0;
	F(i,1,n) ans^=1ll*i*(p[i]+1);
	printf("%lld\n",ans);
}
Flandre_Scarlet IsMyWife()
{
	Input();
	Soviet();
	getchar();
	return 0;
}