20應用統計考研複試要點(part9)--應用多元分析

學習筆記，僅供參考，有錯必糾

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王學明應用多元分析

矩陣代數

行列式

• 定義

p階方陣$A=(a_{ij})$的行列式定義爲:

這裏的$\sum_{j_1j_2...j_p}$表示對1,2,…p的所有排列求和，$\tau(j_1,j_2,...j_p)$是排列$j_1,j_2,...j_p$中逆序的總數，稱它爲這個排列的逆序數，一個逆序是指在一個排列中一對數的前後位置與大小順序相反，即前面的數大於後面的數。例如：$\tau (3142)=1+\tau(1342)=3$

• 基本性質

(1)若A的某行(或列)爲零，則$|A|=0$
(2)$|A'|=|A|$
(3)若將A的某一行(或列)乘以常數c，則所得矩陣的行列式爲$c|A|$
(4)若A是一個p階方陣，c爲一常數，則$|cA|=c^p|A|$
(5)若互換A的任意兩行(或列)，則行列式符號改變。
(6)若A的某兩行(或列)相同，則行列式爲零。
(7)若將A的某一行(或列)的倍數加到另一行(或列).則所得行列式不變。
(8)若A的某一行(或列)是其他一些行(或列)的線性組合，則行列式爲零。
(9)若A爲上三角矩陣或下三角矩陣或對角矩陣，則$|A|=\prod_{i=1}^p a_{ii}$
(10)若A和B均爲p階方陣，則$|AB|=|A||B|$
(11)$|A'A|\geq0$
(12)若A與B都是方陣，則:

矩陣的逆

• 定義

若方陣A滿足$|A| \not=0$，則稱A爲非退化方陣;若$|A|=0$，則稱A爲退化方陣。

設$A=(a_{ij})$是一非退化方陣，若方陣C滿足$AC=I$，則稱C爲A的逆矩陣，記爲$C=A^{-1}$，$A^{-1}$必是一個非退化矩陣。

令$B'=(A_{ij})/|A|$，其中$A_{ij}$是$a_{ij}$的代數餘子式，則容易驗證$AB=BA=I$

由於$C=BAC=B$因此A的逆矩陣是唯一的。

• 基本性質

(1)$AA^{-1}=A^{-1}A=I$
(2)$(A')^{-1}=(A^{-1})'$
(3)若A和C均爲p階非退化方陣，則$(AC)^{-1}=C^{-1}A^{-1}$
(4)$|A^{-1}|=|A|^{-1}$
(5)若A是正交矩陣，則$A^{-1}=A'$
(6)若$A=diag(a_{11},a_{22}, ...,a_{pp})$，非退化，則$A^{-1}=diag(a_{11}^{-1},a_{22}^{-1}, ...,a_{pp}^{-1})$
(7)若A和B爲非退化方陣，則：