20應用統計考研複試要點(part14)--應用多元分析

學習筆記，僅供參考，有錯必糾

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王學明應用多元分析

多元正態總體的統計推斷

• 均值向量的檢驗

設$x_1,x_2,...,x_n$是取自多元正態總體$N_p(\mu, \Sigma)$的一個樣本，這裏$\Sigma > 0$，現欲檢驗：
$H_0: \mu=\mu_0, \qquad H_1:\mu \not=\mu_0$
其中$\mu_0$的每一分量通常是由早先經驗指定的值或是一個目標值。

• $\Sigma$已知時的檢驗

由於樣本均值$\overline{x} \sim N_p(\mu, \frac{1}{n} \Sigma)$，當$H_0$爲真時,有：

$T_0^2$是總體$N_p(\mu, \frac{1}{n} \Sigma)$中$\overline{x}$到$\mu_0$的平方馬氏距離。

• $\Sigma$未知時的檢驗

當$\Sigma$未知且$n>p$時，我們自然想到用樣本協方差矩陣$S$代替$\Sigma$，即有：

• 置信區間

在多元情形下，人們很少滿足於檢驗假設$H_0: \mu=\mu_0, H_1:\mu \not=\mu_0$，而通常更傾向於根據樣本觀測數據尋求$\mu$的一個置信區域。

$\mu$的置信度爲$1-\alpha$的置信區域爲：
$\begin{Bmatrix} \mu: \; \frac{(n-p)n}{p(n-1)}(\overline{x}- \mu)' S^{-1} (\overline{x}- \mu) \le F_\alpha (p, n-p) \end{Bmatrix}$

當p=1時，它是一個區間；當p =2時，它是一個橢圓，這時可將其在座標平面上畫出；當p=3時,它是一個橢球；當p>3時，它是一個超橢球;它們均以$\overline{x}$爲中心，$\overline{x}$到區域邊界的馬氏距離恆爲$T_\alpha(p,n-1)= \frac{p(n-1)}{n-p} F_\alpha (p, n-p)$