20應用統計考研複試要點(part12)--應用多元分析

學習筆記，僅供參考，有錯必糾

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王學明應用多元分析

隨機向量

多元分佈

• 多元概率分佈函數

一個向量，若它的分量都是隨機變量，則稱之爲隨機向量。隨機變量$x$的分佈函數爲：
$F(a)=P(x \leq a)$
隨機向量$x=(x_1, x_2, ..., x_p)'$的分佈函數：
$F(a_1, a_2, ..., a_p) = P(x_1 \leq a_1, x_2 \leq a_2,...,x_p \leq a_p)$

• 多元概率密度函數

一元的情形：
$F(a)= \int_{- \infty}^{a} f(x) dx \\f(x) = \frac{dF(x)}{dx}$

多元的情形：

多元密度$f(x_1,x_2,..x_p)$的性質：

(1)對於一切實數$x_1,x_2,..x_p$，$f(x_1,x_2,..x_p) \geq 0$

(2)

• 邊緣分佈

設$x$是p維隨機向量，由它的$q(q<p)$個分量組成的向量$x_{(1)}$的分佈稱爲x的關於$x_{(1)}$的邊緣分佈。不妨設$x_{(1)}=(x_1,...,x_q)'$，若x是連續型的，則$x_{(1)}$的分佈函數爲：

所以關於$x_{(1)}$的邊緣密度爲：

• 條件分佈

設$x=(x_1, x_2, ..., x_p)'$是p維連續型隨機向量，在給定$x_{(2)}=(x_{q+1},...,x_p)'$(注意，$f_{(2)}(x_{(2)})>0$)的條件下，$x_{(1)}=(x_1,...,x_q)'$的條件概率密度函數定義爲：

• 獨立性

設x和y是兩個隨機向量，若：
$F(x, y)=F_x(x) \cdot F_y(y)$
對一切x,y成立，則稱x和y相互獨立。若$(x,y)$是連續型的，則x和y相互獨立，當且僅當：
$f(x, y)=f_x(x) \cdot f_y(y)$
對一切x,y成立，或當且僅當：
$f(x|y)=f_x(x)$
對一切x,y成立，即條件分佈等同於無條件分佈，直觀意義是x的分佈不受y取值的影響。

數字特徵

• 數學期望

$p \times q$隨機矩陣$X=(x_{ij})$的數學期望(或稱均值)定義爲：

特別地，當q=1時，便可得到隨機向量$x=(x_1,x_2,...,x_p)'$的數學期望定義，即：
$E(x)=[E(x_1),E(x_2),...,E(x_p)]'$
可記爲$\mu=(\mu_1, \mu_2,...,\mu_p)$

隨機矩陣X的數學期望具有下述性質:

(1)設a爲常數，則$E(aX)=aE(X)$

(2)設A,B,C爲常數矩陣，則$E(AXB+C)=AE(X)B+C$

(3)設$X_1,X_2,...,X_n$爲n個同階的隨機矩陣，則：
$E(X_1+X_2+...+X_n)=E(X_1)+E(X_2)+...+E(X_n)$

• 協方差矩陣

隨機變量之間的線性聯繫程度可用協方差來描述。設x和y是兩個隨機變量，它們之間的協方差定義爲：
$Cov(x,y)=E[x-E(x)][y-E(y)]$
若$Cov(x,y)=0$，則稱x和y不相關。兩個獨立的隨機變量必然不相關，但兩個不相關的隨機變量未必獨立。當$x=y$時，協方差即爲方差，也就是$Cov(x,x)=Var(x)$

設$x=(x_1, x_2, ..., x_p)'$和$y=(y_1, y_2, ..., y_q)'$分別爲p維和q維隨機向量，x和y的協方差矩陣(簡稱協差陣)定義爲：

記作$Cov(x,y)$，可將其簡潔地表達爲：
$Cov(x,y)=E[x-E(x)][y-E(y)]'$
顯然，y和x的協方差矩陣與x和y的協方差矩陣互爲轉置關係，即有：
$Cov(y,x)=[Cov(x,y)]'$
若$Cov(x,y)=0$，則稱x和y不相關。

$Cov(x,x)$稱爲x的協方差矩陣，記作$V(x)$，即有：

協方差矩陣$V(x)$也可記作$\sum=(\sigma_{ij})$，其中$\sigma_{ij}=Cov(x_i,x_j),\sigma_{ii}=\sigma_i^2=V(x_i)$

協方差矩陣具有下述性質:

(1)隨機向量x的協方差矩陣$\sum$一定是非負定矩陣。

(2)設A爲常數矩陣，b爲常數向量，則$V(Ax+b)=A V(x)A'$

在實際問題中，有時$|\sum|=0$，其原因是指標之間存在着線性關係，如某一指標是其他一些指標的彙總值，這在一般數據報表中是常出現的。我們通常可以通過刪去“多餘”指標的辦法來確保$\sum > 0$，因此，在今後的絕大部分討論中，我們假定$\sum > 0$並不失一般性，而且這可使數學問題得以簡化。