20應用統計考研複試要點(part8)--應用多元分析

學習筆記，僅供參考，有錯必糾

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王學明應用多元分析

矩陣代數

定義

$p*q$階矩陣，常記作$A=(a_{ij}):p \times q$

若$q=1$，則稱A爲$p$維列向量：

若$p=1$，則稱A爲q維行向量：

$a'=(a_1,a_2,...,a_q)$

$\sqrt{a'a}$稱爲向量a的長度，記作$||a||$，若$||a||=1$則稱a爲單位向量。任一非零向量a被其長度$||a||$相除後即爲單位向量，即$c=a/||a||$是一個單位向量。
$||a||=\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_p^2}$

若A的所有元素全爲零，則稱A爲零矩陣，記作$A=0_{pq}$或$A=0$

若$p=q$，則稱A爲p階方陣，$a_{11}, a_{22}, ..., a_{pp}$稱爲它的對角線元素，其他元素稱爲非對角線元素。

若方陣A的對角線下方的元素全爲零，則稱A爲上三角矩陣。顯然，$a_{ij}=0, i>j$

若方陣A的對角線上方的元素全爲零，則稱A爲下三角矩陣。顯然，$a_{ij}=0, i<j$

若方陣A的所有非對角線元素均爲零.則稱A爲對角矩陣，可記爲$diag(a_{11}, a_{22}, ..., a_{pp})$

若p階對角矩陣A的所有p個對角線元素均爲1，則稱A爲p階單位矩陣，記作$I_p$或$I$

若將矩陣A的行與列互換，則得到的矩陣稱爲A的轉置，記作$A'$

若方陣A滿足$A'=A$，則稱A爲對稱矩陣。顯然，$a_{ij}=a_{ji}$

矩陣運算

• 定義

若$A=(a_{ij}):p \times q, B=(a_{ij}):p \times q$，則A與B的和定義爲：
$A+B=(a_{ij}+b_{ij}):p \times q$

若c爲一常數，則它與A的積定義爲:
$cA=(ca_{ij}):p \times q$

若$A=(a_{ij}):p \times q, B=(a_{ij}):q \times r$，則A與B的積定義爲：
$AB=(\sum_{k=1}^q a_{ik}b_{kj}):p \times r$

• 運算規則

$(A+B)'=A'+B' \\ (AB)'=B'A' \\ A(B_1 + B_2)=AB_1 + AB_2 \\ A(\sum_{i=1}^k B_i) = \sum_{i=1}^kAB_i \\ c(A+B)=cA + cB$

• 正交

若兩個p維向量a和b滿足:

$a'b=a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_p b_p = 0$

則稱a和b正交。幾何上，正交向量之間相互垂直。

若方陣A滿足$A'A=I$，則稱A爲正交矩陣。

正交矩陣可有這三種等價定義：
$AA'=I \Longleftrightarrow A'=A^{-1} \Longleftrightarrow A'A=I$

正交矩陣A有着較好的幾何意義:

如將p維向量$x$看作是在$R^{p}$中的一個點，則$x$的各分量是該點在相應各座標軸上的座標。

正交變換$y=Ax$意味着對原p維座標系作一剛性旋轉(或稱正交旋轉，此時$|A|=1$)或反射(此時$|A|=-1$)，$y$的各分量正是該點在新座標系下的座標。在新、舊座標系下，該點到原點的距離保持不變。
當$p=2$時：
$y= \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos \theta & sin \theta \\ -sin \theta & cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=Ax$

• 矩陣分塊

設$A=(a_{ij}):p \times q$將它分成四塊，表示成：

若A和B有相同的分塊，則：

若C爲$q \times r$矩陣，分成：

則有：