20應用統計考研複試要點(part11)--應用多元分析

學習筆記，僅供參考，有錯必糾

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王學明應用多元分析

矩陣代數

正定矩陣和非負定矩陣

• 定義

設A是p階對稱矩陣，$x$是p維向量，則$x'Ax$稱爲A的二次型。

若對一切$x \not= 0$，有$x'Ax > 0$，則稱A爲正定矩陣，記作$A>0$

若對一切$x$，有$x'Ax \geq 0$，則稱A爲非負定矩陣，記作$A \geq 0$

• 基本性質

(1)設$A=A'$，則$A>0$(或$A \geq 0$)， 當且僅當A的所有特徵值均爲正(或非負)

(2)設$A \geq 0$，則A的秩等於A的正特徵值個數。

(3)若$A>0$，則$A^{-1}>0$

(4)設$A \geq 0$，則$A>0$，當且僅當$|A| \not= 0$

(5)若$A>0$(或$A \geq 0$)，則$|A|>0$(或$|A| \geq 0$)

(6)對於一切矩陣B，$BB' \geq 0$

(7)若$A>0$(或$A \geq 0$)，則存在$A^{1/2}>0$(或$A^{1/2} \geq 0$)，使得$A=A^{1/2}A^{1/2}$，$A^{1/2}$稱爲A的平方根矩陣。

由於$A^{1/2}$對稱且其特徵值$\sqrt{\lambda_i} > 0$(或$\sqrt{\lambda_i} \geq 0$)，$i=1,2,...,p$，所以$A^{1/2}>0$(或$A^{1/2} \geq 0$)

注意：當p=1時，$A=a$是一個正數(或非負數),可有$a=a^{1/2}a^{1/2}$，而$a^{1/2}$也是一個正數或非負數。

(8)設$A \geq 0$，是p階秩爲r的矩陣，則存在一個秩爲r(即列滿秩)的$p \times r$矩陣B，使得$A=BB'$