約瑟夫問題
約瑟夫問題是個著名的問題：N個人圍成一圈，第一個人從1開始報數，報M的將被殺掉，下一個人接着從1開始報。如此反覆，最後剩下一個，求最後的勝利者。
例如只有三個人，把他們叫做A、B、C，他們圍成一圈，從A開始報數，假設報2的人被殺掉。
首先A開始報數，他報1。僥倖逃過一劫。
然後輪到B報數，他報2。非常慘，他被殺了
C接着從1開始報數
接着輪到A報數，他報2。也被殺死了。
最終勝利者是C
普通解法
藉助循環鏈表實現。
每個節點維護一個數字 和一個狀態位
到時候直接循環走就行了， 沒步計數，直剩下一個人時，繼續循環，找到那個人的編號。
複雜度分析：
一直轉圈圈走，類似於一個O(nn)的複雜度。實際上是O（nm）次
假如數據量很大的話，效率就非常差了。
看到大佬分析的公式法：
我們重新定義一下題目。
拉出來的人都是倖存者。
這邊我們先把結論拋出了。之後帶領大家一步一步的理解這個公式是什麼來的。
遞推公式： f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%N
f(N,M) 表示，N個人報數，每報到M時殺掉那個人，最終勝利者的編號
f(N−1,M)表示，N-1個人報數，每報到M時殺掉那個人，最終勝利者的編號
下面我們不用字母表示每一個人，而用數字。
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11
表示11個人，他們先排成一排，假設每報到3的人被殺掉。
剛開始時，頭一個人編號是1，從他開始報數，第一輪被殺掉的是編號3的人。
編號4的人從1開始重新報數，這時候我們可以認爲編號4這個人是隊伍的頭。第二輪被殺掉的是編號6的人。
編號7的人開始重新報數，這時候我們可以認爲編號7這個人是隊伍的頭。第三輪被殺掉的是編號9的人。
……
第九輪時，編號2的人開始重新報數，這時候我們可以認爲編號2這個人是隊伍的頭。這輪被殺掉的是編號8的人。
下一個人還是編號爲2的人，他從1開始報數，不幸的是他在這輪被殺掉了。
最後的勝利者是編號爲7的人。
下圖表示這一過程（先忽視綠色的一行）
現在再來看我們遞推公式是怎麼得到的！
將上面表格的每一行看成數組，這個公式描述的是：倖存者在這一輪的下標位置
f(1,3)f(1,3)：只有1個人了，那個人就是獲勝者，他的下標位置是0
f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=3%2=1f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=3%2=1：在有2個人的時候，勝利者的下標位置爲1
f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=4%3=1f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=4%3=1：在有3個人的時候，勝利者的下標位置爲1
f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=4%4=0f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=4%4=0：在有4個人的時候，勝利者的下標位置爲0
……
f(11,3)=6
上面這個例子驗證了這個遞推公式的確可以計算出勝利者的下標，下面將講解怎麼推導這個公式。
**問題1：**假設我們已經知道11個人時，勝利者的下標位置爲6。那下一輪10個人時，勝利者的下標位置爲多少？
答：其實吧，第一輪刪掉編號爲3的人後，之後的人都往前面移動了3位，勝利這也往前移動了3位，所以他的下標位置由6變成3。
**問題2：**假設我們已經知道10個人時，勝利者的下標位置爲3。那下一輪11個人時，勝利者的下標位置爲多少？
答：這可以看錯是上一個問題的逆過程，大家都往後移動3位，所以f(11,3)=f(10,3)+3f(11,3)=f(10,3)+3。不過有可能數組會越界，所以最後模上當前人數的個數，f(11,3)=（f(10,3)+3）%11
**問題3：**現在改爲人數改爲N，報到M時，把那個人殺掉，那麼數組是怎麼移動的？
答：每殺掉一個人，下一個人成爲頭，相當於把數組向前移動M位。若已知N-1個人時，勝利者的下標位置位f(N−1,M)f(N−1,M)，則N個人的時候，就是往後移動M爲，(因爲有可能數組越界，超過的部分會被接到頭上，所以還要模N)，既f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%n
**注：理解這個遞推式的核心在於關注勝利者的下標位置是怎麼變的。**每殺掉一個人，其實就是把這個數組向前移動了M位。然後逆過來，就可以得到這個遞推式。
因爲求出的結果是數組中的下標，最終的編號還要加1
下面給出代碼實現：
//我們想法是：拿出來的人都是被殺者
//n是總人數， m是殺死編號m的人
int cir(int n,int m)
{
int p=0;//倖存者編號
for(int i=2;i<=n;i++)//只有1個人肯定是倖存者
{
p=(p+m)%i;//防止越界
}
return p+1;//最後一個被殺的人就是倖存者
}
2020年05-07趨勢科技筆試題
變化
m是一個變的數。從1…直到最後剩下一個人
這個時候，我們可以讓m每次自增即可。