二分圖的覆蓋與獨立集

1.二分圖最小點覆蓋

給定一張二分圖，求出一個最小的點集 $S$，使得圖中任意一條邊都有至少一個端點屬於 $S$。這個問題被稱爲二分圖的最小點覆蓋 (vertex cover)，簡稱最小覆蓋。

Konig 定理：

    二分圖最小點覆蓋包含的點數等於二分圖最大匹配包含的邊數。

2.二分圖最大獨立集

給定一張無向圖 $G=(V,E)$，滿足下列條件的點集 $S$ 被稱爲圖的獨立集：

1. $S \subset V$
2. $\forall x,y \in S, \ (x,y) \notin E$

通俗地講，圖的獨立集就是任意兩點之間都沒有邊相連的點集。包含點數最多的一個就是圖的最大獨立集。

對應地，任意兩點之間都有一條邊相連的子圖被稱爲無向圖的團。點數最多的團被稱爲圖的最大團。

定理：

無向圖 $G$ 的最大團等於其補圖 $G'$ 的最大獨立集。

注：$G'=(V,E')$ 被稱爲 $G=(V,E)$ 的補圖，其中 $E'= \left\{(x,y) \not\in E \right\}$。

定理：

設 $G$ 是有 $n$ 個節點的二分圖，$G$ 的最大獨立集的大小等於 $n$ 減去最大匹配數。

證明：

選出最多的點構成獨立集

$\Leftrightarrow$ 在圖中去掉最少的點，使剩下的點之間沒有邊

$\Leftrightarrow$ 用最少的點覆蓋所有的邊

因此，去掉二分圖的最小點覆蓋，剩餘的點就構成二分圖的最大獨立集。而最小點覆蓋數等於最大匹配數。故最大獨立集大小等於 $n$ 減去最大匹配數。

3.有向無環圖的最小路徑點覆蓋

給定一張有向無環圖，要求用盡量少的不相交的簡單路徑，覆蓋有向無環圖的所有頂點（也就是每個頂點恰好被覆蓋一次）。這個問題被稱爲有向無環圖的最小路徑點覆蓋，簡稱最小路徑覆蓋。

設原來的有向無環圖爲 $G=(V,E)$，$n=|V|$。把 $G$ 中的每個點 $x$ 拆成編號爲 $x$ 和 $x+n$ 的兩個點。建立一張新的二分圖，$1 \sim n$ 作爲二分圖左部點，$n+ 1 \sim 2n$ 作爲二分圖右部點，對於原圖的每條有向邊 $(x,y)$，在二分圖的左部點 $x$ 與右部點 $y+n$ 之間連邊。最終得到的二分圖稱爲 $G$ 的拆點二分圖，記爲 $G_2$。

定理：

有向無環圖 $G$ 的最小路徑點覆蓋包含的路徑條數，等於 $n$ 減去拆點二分圖 $G_2$ 的最大匹配數。

4.有向無環圖的最小路徑可重複點覆蓋

給定一張有向無環圖，要求用盡量少的可相交的簡單路徑，覆蓋有向無環圖的所有頂點（也就是一個節點可以被覆蓋多次）。這個問題被稱爲有向無環圖的最小路徑可重複點覆蓋。

在最小路徑可重複點覆蓋中，若兩條路徑 $... → u → p → v → ...$ 和 $... → x → p → y →....$ 在點 $p$ 相交，則我們在原圖中添加一條邊 $(x,y)$，讓第二條路徑直接走 $x→y$，就可以避免重複覆蓋點 $p$。

進一步地，如果我們把原圖中所有間接連通的點對 $x,y$ 直接連上有向邊 $(x,y)$，那麼任何 有路徑相交的點覆蓋 一定都能轉化成 沒有路徑相交的點覆蓋。

綜上所述，有向無環圖 $G$ 的最小路徑可重複點覆蓋，等價於先對有向圖傳遞閉包，得到有向無環圖 $G'$，再在 $G'$ 上求一般的（路徑不可相交的）最小路徑點覆蓋。