前言
高等數學是理工科考研都需要考的科目之一，不管是數一、數二、數三都是考綱中的內容。而極限又是高數中的基礎，是微分學的基礎。所以，我們一定要打好基礎，才能在考試中拿到高分。冷月總結了遞歸數列極限的求法和證明，希望能夠幫助到各位小夥伴。本文爲李正元數一全書爲參考。
方法論
如果有一個數列極限其中f是一個已知的一元連續函數，則稱數列{an}爲遞歸函數。
由遞歸的定義可以知，由a1可以求出a2，由a2可以求出a3，由a3可以求出a4，依次類推可以求出an。
一般，常考體型會給出第一項，也就是a1，然後給出遞歸表達式，然後讓我們求出n ->無窮，an的極限。
下面，冷月給出兩個方法：
1.先證明遞歸數列{an}收斂(常用單調有界數列必有極限)，然後設lim n->無窮 Xn = A，再對遞歸方程an+1 = f(an)取極限A=f(A)，最後解出極限即可。
2.先設lim n->無窮 Xn = A，對遞歸方程an+1 = f(an)取極限A=f(A)解出A，再用適當方法證明lim n->無窮 = A(一般用極限的定義)。
注意：
我們在討論數列的單調性時，可以利用遞歸函數f(x)的單調性來判斷。因爲，若an屬於區間I，若f(x)在區間I中單調遞增，且a2>a1（a2<a1）,那麼數列{an}單增(單減)；若f(x)在區間I中單調遞減，數列{an}不具有單調性。
例題
1.
第一題對應方法論中的一，題目中給出了a1的範圍和遞推推導式，那麼只需要先證明數列有界，利用推導式的單調性判斷出數列單調即可證明數列{an}單調有界，那麼它必有極限。再設lim an = A (n->無窮)，聯立推導式即可解出A。這道題屬於常規的題。
第一題對應方法論中的二，題目中給出了a1的範圍和遞推推導式，但是推導式單調遞減，那麼數列不具備單調性。但是非單調的數列也可以存在極限。我們不能一棍子打死。我們可以先設lim an = A (n->無窮)，聯立推導式即可解出A。右題可以見A是存在的，但是我們只是假設，一定要驗證。這裏使用數列極限的定義來證明，不懂的小夥伴可以加關注冷月的其他博文，有詳細講解。學長冷月的博客
總結
這類題，數一、數二很喜歡考，但是很多的小夥伴都弄不清楚。大家可以先把上面的兩道題搞清楚，在找一些類似的題做一下，相信一定可以拿下這類題的。冷月每天都會分享一些知識點，包括數學，專業課408.大家可以關注冷月的博客和冷月一起刷題一起上岸。學長冷月的博客
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