「哈希表 hash table」，又稱「散列表」，它通過建立鍵 key 與值 value 之間的映射，實現高效的元素查詢。具體而言，我們向哈希表中輸入一個鍵 key ，則可以在 𝑂(1) 時間內獲取對應的值 value 。
從本質上看，哈希函數的作用是將所有 key 構成的輸入空間映射到數組所有索引構成的輸出空間，而輸入空 間往往遠大於輸出空間。因此，理論上一定存在“多個輸入對應相同輸出”的情況。 將這種多個輸入對應同一輸出的情況稱 爲「哈希衝突 hash collision」。因此，我們可以 通過擴容哈希表來減少哈希衝突。
哈希表擴容需將所有鍵值對從原哈希表遷移至新哈希表，非常耗時；並且由於哈希表容量 capacity 改變，我們需要通過哈希函數來重新計算所有鍵值對的存儲位置，這進一步增加了擴容過程的計算 開銷。爲此，編程語言通常會預留足夠大的哈希表容量，防止頻繁擴容。
「負載因子 load factor」是哈希表的一個重要概念，其定義爲哈希表的元素數量除以桶數量，用於衡量哈希衝突的嚴重程度，也常作爲哈希表擴容的觸發條件。
哈希表擴容簡單粗暴且有效，但效率太低，因爲哈希表擴容需要進行大量 的數據搬運與哈希值計算。爲了提升效率，我們可以採用以下策略。
1. 改良哈希表數據結構，使得哈希表可以在出現哈希衝突時正常工作。
2. 僅在必要時，即當哈希衝突比較嚴重時，才執行擴容操作。
哈希表的結構改良方法主要包括“鏈式地址”和“開放尋址”。
鏈式地址
在原始哈希表中，每個桶僅能存儲一個鍵值對。「鏈式地址 separate chaining」將單個元素轉換爲鏈表，將鍵值對作爲鏈表節點，將所有發生衝突的鍵值對都存儲在同一鏈表中。
基於鏈式地址實現的哈希表的操作方法發生了以下變化。
‧ 查詢元素：輸入 key ，經過哈希函數得到桶索引，即可訪問鏈表頭節點，然後遍歷鏈表並對比 key 以查 找目標鍵值對。
‧ 添加元素：首先通過哈希函數訪問鏈表頭節點，然後將節點（鍵值對）添加到鏈表中。
‧ 刪除元素：根據哈希函數的結果訪問鏈表頭部，接着遍歷鏈表以查找目標節點並將其刪除。
鏈式地址的侷限性。
‧ 佔用空間增大：鏈表包含節點指針，它相比數組更加耗費內存空間。
‧ 查詢效率降低：因爲需要線性遍歷鏈表來查找對應元素。
開放尋址
開放尋址 open addressing」不引入額外的數據結構，而是通過“多次探測”來處理哈希衝突，探測方式主 要包括線性探測、平方探測和多次哈希等。
線性探測 線性探測採用固定步長的線性搜索來進行探測，其操作方法與普通哈希表有所不同。
‧ 插入元素：通過哈希函數計算桶索引，若發現桶內已有元素，則從衝突位置向後線性遍歷（步長通常爲 1 ），直至找到空桶，將元素插入其中。
‧ 查找元素：若發現哈希衝突，則使用相同步長向後進行線性遍歷，直到找到對應元素，返回 value 即可；如果遇到空桶，說明目標元素不在哈希表中，返回 None 。
然而，線性探測容易產生“聚集現象”。具體來說，數組中連續被佔用的位置越長，這些連續位置發生哈希衝 突的可能性越大，從而進一步促使該位置的聚堆生長，形成惡性循環，最終導致增刪查改操作效率劣化。 值得注意的是，我們不能在開放尋址哈希表中直接刪除元素。這是因爲刪除元素會在數組內產生一個空桶 None ，而當查詢元素時，線性探測到該空桶就會返回，因此在該空桶之下的元素都無法再被訪問到，程序可能誤判這些元素不存在。爲了解決該問題，我們可以採用「懶刪除 lazy deletion」機制：它不直接從哈希表中移除元素，而是利用一 個常量 TOMBSTONE 來標記這個桶。在該機制下，None 和 TOMBSTONE 都代表空桶，都可以放置鍵值對。但不同 的是，線性探測到 TOMBSTONE 時應該繼續遍歷，因爲其之下可能還存在鍵值對。然而，懶刪除可能會加速哈希表的性能退化。這是因爲每次刪除操作都會產生一個刪除標記，隨着 TOMBSTONE 的增加，搜索時間也會增加，因爲線性探測可能需要跳過多個 TOMBSTONE 才能找到目標元素。 爲此，考慮在線性探測中記錄遇到的首個 TOMBSTONE 的索引，並將搜索到的目標元素與該 TOMBSTONE 交換位 置。這樣做的好處是當每次查詢或添加元素時，元素會被移動至距離理想位置（探測起始點）更近的桶，從 而優化查詢效率。
平方探測
平方探測與線性探測類似，都是開放尋址的常見策略之一。當發生衝突時，平方探測不是簡單地跳過一個固定的步數，而是跳過“探測次數的平方”的步數，即 1, 4, 9, … 步。
平方探測主要具有以下優勢。
‧ 平方探測通過跳過探測次數平方的距離，試圖緩解線性探測的聚集效應。
‧ 平方探測會跳過更大的距離來尋找空位置，有助於數據分佈得更加均勻。
然而，平方探測並不是完美的。
‧ 仍然存在聚集現象，即某些位置比其他位置更容易被佔用。
‧ 由於平方的增長，平方探測可能不會探測整個哈希表，這意味着即使哈希表中有空桶，平方探測也可能 無法訪問到它。
多次哈希
顧名思義，多次哈希方法使用多個哈希函數 𝑓1 (𝑥)、𝑓2 (𝑥)、𝑓3 (𝑥)、… 進行探測。
‧ 插入元素：若哈希函數 𝑓1 (𝑥) 出現衝突，則嘗試 𝑓2 (𝑥) ，以此類推，直到找到空位後插入元素。
‧ 查找元素：在相同的哈希函數順序下進行查找，直到找到目標元素時返回；若遇到空位或已嘗試所有哈 希函數，說明哈希表中不存在該元素，則返回 None 。 與線性探測相比，多次哈希方法不易產生聚集，但多個哈希函數會帶來額外的計算量。
而無論是開放尋址還是鏈式地址，它們只能保證 哈希表可以在發生衝突時正常工作，而無法減少哈希衝突的發生。
鍵值對的分佈情況由哈希函數決定。
index = hash(key) % capacity
當哈希表容量 capacity 固定時，哈希算法 hash() 決定了輸出值，進而決定了鍵值對在哈希 表中的分佈情況。 這意味着，爲了降低哈希衝突的發生概率，我們應當將注意力集中在哈希算法 hash() 的設計上。
哈希算法的目標
爲了實現“既快又穩”的哈希表數據結構，哈希算法應具備以下特點。
‧ 確定性：對於相同的輸入，哈希算法應始終產生相同的輸出。這樣才能確保哈希表是可靠的。
‧ 效率高：計算哈希值的過程應該足夠快。計算開銷越小，哈希表的實用性越高。
‧ 均勻分佈：哈希算法應使得鍵值對均勻分佈在哈希表中。分佈越均勻，哈希衝突的概率就越低。
實際上，哈希算法除了可以用於實現哈希表，還廣泛應用於其他領域中。
‧ 密碼存儲：爲了保護用戶密碼的安全，系統通常不會直接存儲用戶的明文密碼，而是存儲密碼的哈希值。當用戶輸入密碼時，系統會對輸入的密碼計算哈希值，然後與存儲的哈希值進行比較。如果兩者匹配，那麼密碼就被視爲正確。
‧ 數據完整性檢查：數據發送方可以計算數據的哈希值並將其一同發送；接收方可以重新計算接收到的數據的哈希值，並與接收到的哈希值進行比較。如果兩者匹配，那麼數據就被視爲完整。
對於密碼學的相關應用，防止從哈希值推導出原始密碼等逆向工程，哈希算法需要具備更高等級的安全特性。
‧ 單向性：無法通過哈希值反推出關於輸入數據的任何信息。
‧ 抗碰撞性：應當極難找到兩個不同的輸入，使得它們的哈希值相同。
‧ 雪崩效應：輸入的微小變化應當導致輸出的顯著且不可預測的變化。
哈希算法的設計
哈希算法的設計是一個需要考慮許多因素的複雜問題。然而對於某些要求不高的場景，我們也能設計一些簡單的哈希算法。
‧ 加法哈希：對輸入的每個字符的 ASCII 碼進行相加，將得到的總和作爲哈希值。
‧ 乘法哈希：利用乘法的不相關性，每輪乘以一個常數，將各個字符的 ASCII 碼累積到哈希值中。
‧ 異或哈希：將輸入數據的每個元素通過異或操作累積到一個哈希值中。
‧ 旋轉哈希：將每個字符的 ASCII 碼累積到一個哈希值中，每次累積之前都會對哈希值進行旋轉操作。
Q：哈希表的時間複雜度在什麼情況下是 𝑂(𝑛) ？
當哈希衝突比較嚴重時，哈希表的時間複雜度會退化至 𝑂(𝑛) 。當哈希函數設計得比較好、容量設置比較合理、衝突比較平均時，時間複雜度是 𝑂(1) 。我們使用編程語言內置的哈希表時，通常認爲時間複雜度是 𝑂(1) 。
Q：爲什麼不使用哈希函數 𝑓(𝑥) = 𝑥 呢？這樣就不會有衝突了。
在 𝑓(𝑥) = 𝑥 哈希函數下，每個元素對應唯一的桶索引，這與數組等價。然而，輸入空間通常遠大於輸出空 間（數組長度），因此哈希函數的最後一步往往是對數組長度取模。換句話說，哈希表的目標是將一個較大的 狀態空間映射到一個較小的空間，並提供 𝑂(1) 的查詢效率。
Q：哈希表底層實現是數組、鏈表、二叉樹，但爲什麼效率可以比它們更高呢？
首先，哈希表的時間效率變高，但空間效率變低了。哈希表有相當一部分內存未使用。其次，只是在特定使用場景下時間效率變高了。如果一個功能能夠在相同的時間複雜度下使用數組或鏈表實 現，那麼通常比哈希表更快。這是因爲哈希函數計算需要開銷，時間複雜度的常數項更大。 最後，哈希表的時間複雜度可能發生劣化。例如在鏈式地址中，我們採取在鏈表或紅黑樹中執行查找操作， 仍然有退化至 𝑂(𝑛) 時間的風險。
Q：多次哈希有不能直接刪除元素的缺陷嗎？標記爲已刪除的空間還能再次使用嗎？
多次哈希是開放尋址的一種，開放尋址法都有不能直接刪除元素的缺陷，需要通過標記刪除。標記爲已刪除的空間可以再次使用。當將新元素插入哈希表，並且通過哈希函數找到標記爲已刪除的位置時，該位置可以被新元素使用。這樣做既能保持哈希表的探測序列不變，又能保證哈希表的空間使用率。
Q：爲什麼在線性探測中，查找元素的時候會出現哈希衝突呢？
查找的時候通過哈希函數找到對應的桶和鍵值對，發現 key 不匹配，這就代表有哈希衝突。因此，線性探測法會根據預先設定的步長依次向下查找，直至找到正確的鍵值對或無法找到跳出爲止。
Q：爲什麼哈希表擴容能夠緩解哈希衝突？
哈希函數的最後一步往往是對數組長度 𝑛 取模（取餘），讓輸出值落在數組索引範圍內；在擴容後，數組長 度 𝑛 發生變化，而 key 對應的索引也可能發生變化。原先落在同一個桶的多個 key ，在擴容後可能會被分配 到多個桶中，從而實現哈希衝突的緩解