數字圖像處理(Digital Image Processing)是通過計算機對圖像進行去除噪聲、增強、復原、分割、提取特徵等處理的方法和技術。本專欄將以學習筆記形式對數字圖像處理的重點基礎知識進行總結整理，歡迎大家一起學習交流！
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1 頻率域平滑（低通）濾波器

圖像的平滑除了在空間域中進行外，也可以在頻率域中進行。

由於噪聲主要集中在高頻部分，爲去除噪聲改善圖像質量，濾波器採用低通濾波器 $H_{LP}(u,v)$ 來抑制高頻成分，通過低頻成分，然後再進行逆傅立葉變換獲得濾波圖像，就可達到平滑圖像的目的。

邊緣和噪聲等尖銳變化處於傅里葉變換的高頻部分

平滑可以通過衰減高頻成分的範圍來實現
常用的頻率域平滑濾波器有3種:

理想低通濾波器（處理變化尖銳部分）
巴特沃思低通濾波器（處於理想和高斯濾波器之間）
高斯低通濾波器（處理變化平滑部分）

1.1 理想低通濾波器

高度概括：截斷傅里葉變換中的所有處於指定距離 $D_{0}$ 之外的高頻成分。
簡單而言：就是將以 $D_{0}$ 爲半徑的圓以外的部分全部置0，遠行以內的部分全部置1。

上述公式即爲理想低通濾波器的公式描述。
其中，H代表濾波器，I代表理想，LP代表低通，F代表濾波器。
因爲該公式是在頻域中的，故用u,v表示；而x,y是空間域常用的表示形式。

★低通濾波器隨着半徑的增大保留的信息增多

頻率域的中心在 $(\frac{P}{2},\frac{Q}{2})$ ，從點到中心（原點）的距離如下

圖像描述

說明：在半徑爲 $D_{0}$ 的圓內，所有頻率沒有衰減地通過濾波器，而在此半徑的圓之外的所有頻率完全被衰減掉。

總圖像功率值 $P_{T}$

其中:

原點在頻率域的中心，半徑爲 $D_{0}$ 的圓包含 $\alpha \%$ 的功率 $D_{0}$
其中

理想低通濾波器舉例

上圖所示的是：
圓環具有半徑5,15,30,80和230個像素
圖像功率爲92.0%,94.6%,96.4%,98.0%和99.5%

此舉例說明結論:
①90%以上的功率(能量)集中在半徑小於5的圓周內;
②隨濾波器半徑的增加,越來越少的功率被濾出掉,使模糊減弱。

理想低通濾波器具有振鈴現象

1.2 巴特沃思低通濾波器

n階巴特沃思低通濾波器(BLPF)定義如下

$D_{0}$ 爲截至頻率距原點的距離，D(u,v)是點(u,v)距原點的距離。
當D(u,v)= $D_{0}$ 時，H(u,v)=0.5(最大值是1，當D(u,v)=0)

它的特性是連續性衰減，而不像理想濾波器那樣陡峭變化，即明顯的不連續性。
因此採用該濾波器濾波在抑制噪聲的同時，圖像邊緣的模糊程度大大減小，沒有振鈴效應產生。

圖像描述

可用於平滑處理，如圖像由於量化不足產生虛假輪廓時，常可用低通濾波進行平滑以改進圖像質量。
通常，BLPF的平滑效果好於ILPF（振鈴現象）。

巴特沃思低通濾波器 n=2（n=2時效果最好）

所有的濾波器都有半徑爲5的截至頻率 $D_{0}$

注：二階BLPF處於有效低通濾波和可接受的振鈴特徵之間。

1.3 高斯低通濾波器

二維高斯低通濾波器(GLPF)定義如下

當D(u,v)= $D_{0}$ 時，濾波器下降到它最大值的0.607處

圖像描述

採用高斯低通濾波器濾波在抑制噪聲的同時，圖像邊緣的模糊程度較用Butterworth濾波產生的大些，無明顯的振鈴效應。
★高斯濾波器無振鈴現象

1.4 三種低通濾波器小結

GLPF不能達到有相同截止頻率的二階BLPF的平滑效果
GLPF沒有振鈴
如果需要嚴格控制低頻和高頻之間截至頻率的過渡，選用BLPF，代價是可能產生振鈴

1.5 低通濾波器的應用實例：模糊,平滑等

字符識別：通過模糊圖像，橋接斷裂字符的裂縫

印刷和出版業：從一幅尖銳的原始圖像產生平滑、柔和的外觀，如人臉，減少皮膚細紋的銳化程度和小斑點

處理衛星和航空圖像：儘可能模糊細節，而保留大的可識別特徵。低通濾波通過消除不重要的特徵來簡化感興趣特徵的分析

2 頻率域銳化（高通）濾波器

圖像的邊緣、細節主要位於高頻部分，而圖像的模糊是由於高頻成分比較弱產生的。
頻率域銳化就是爲了消除模糊，突出邊緣。
因此採用高通濾波器讓高頻成分通過，使低頻成分削弱，再經逆傅立葉變換得到邊緣銳化的圖像

頻率域銳化濾波器主要有：

理想高通濾波器
巴特沃思高通濾波器
高斯高通濾波器
頻率域的拉普拉斯算子
鈍化模板、高頻提升濾波和高頻加強濾波

高通濾波器的頻域表示：

巴特沃思濾波器爲理想濾波器的尖銳化和高斯濾波器的完全光滑之間的一種過渡。

高通濾波器的空間域表示：

2.1 理想高通濾波器（IHPF）

截斷傅里葉變換中所有處於指定距離D0之內的低頻成分

頻率域的中心在 $(\frac{P}{2},\frac{Q}{2})$ ，從點(u,v)到中心（原點）的距離如下

理想高通濾波示例：

2.2 巴特沃思高通濾波器

n階巴特沃思高通濾波器(BHPF)定義如下

推導

二階巴特沃思高通濾波示例：

2.3 高斯（指數）高通濾波器

截頻距原點爲D0的高斯高通濾波器(GHPF)定義爲

高斯高通濾波示例：

2.4 三種高通濾波器小結

三種濾波函數的選用類似於低通。
理想高通有明顯振鈴現象，即圖像的邊緣有抖動現象；
Butterworth高通濾波效果較好，但計算複雜，其優點是有少量低頻通過，是漸變的，振鈴現象不明顯；
指數高通效果比Butterworth差些，振鈴現象不明顯；
一般來說，不管在圖像空間域還是頻率域，採用高頻濾波不但會使有用的信息增強，同時也使噪聲增強。因此不能隨意地使用