【Leetcode】716. Max Stack

題目地址：

https://leetcode.com/problems/max-stack/

用棧實現一個數據結構可以實現如下操作：
1、將數據進棧，出棧，並且按照FILO的原則；
2、查看棧頂，查看棧中最大值；
3、刪掉棧中最大值。

基本思路是用兩個棧，其中一個棧$s_1$存原本的數據，另開一個單調棧$s_2$，存所有遇到的最大值。這樣即使在原棧中的最大值pop掉，也能通過在第二個棧裏找到剩餘數字的最大值。具體考慮如下：
1、push的時候，對於$s_1$只需直接進棧即可，對於$s_2$，要看一眼新來的數是否大於等於棧頂，如果是，則進棧，否則不進棧。這樣的考慮在於記錄當前棧中的最大值，注意，即使新來的數等於棧頂，仍然需要進棧，這是爲了記錄這個最大值出現了多少次；
2、pop的時候，對於$s_1$仍然是直接pop，對於$s_2$則需要看一下從$s_1$裏pop的是否是當前最大值，如果是，則將$s_2$也pop，否則不動；
3、top和peekMax就直接看兩個棧的棧頂即可；
4、對於popMax，需要先用一個變量存一下當前最大值是多少，也就是$s_2$的棧頂，然後另外開一個臨時棧，把$s_1$上面的數字全倒進去，直到pop出$s_1$裏的最大值，此時也要pop出$s_2$，然後再調用1裏面的push方法把數字再進棧。注意，一定要調用MaxStack的push方法而不是調用$s_1$的push方法，這是因爲倒出來的數字裏可能有次大值，而那個單調棧只是存放了$s_1$從最大值到棧底的數字裏的最大、次大等等值，並沒有存放最大值到棧頂的數字信息；調用push的目的就是把這些信息也存到$s_2$裏。代碼如下：

import java.util.ArrayDeque;
import java.util.Deque;

public class MaxStack {
    
    Deque<Integer> stk, maxStk;
    
    public MaxStack() {
        stk = new ArrayDeque<>();
        maxStk = new ArrayDeque<>();
    }
    
    public void push(int x) {
        stk.push(x);
        if (maxStk.isEmpty() || maxStk.peek() <= x) {
            maxStk.push(x);
        }
    }
    
    public int pop() {
        int x = stk.pop();
        if (!maxStk.isEmpty() && x == maxStk.peek()) {
            maxStk.pop();
        }
        
        return x;
    }
    
    public int top() {
        return stk.peek();
    }
    
    public int peekMax() {
        return maxStk.peek();
    }
    
    public int popMax() {
        Deque<Integer> tempStk = new ArrayDeque<>();
        int x = maxStk.pop();
        while (!stk.isEmpty() && stk.peek() < x) {
            tempStk.push(stk.pop());
        }
        
        stk.pop();
        while (!tempStk.isEmpty()) {
        	// 調用MaxStack的push方法，把倒出來的數字再倒回去
            push(tempStk.pop());
        }
        
        return x;
    }
}

空間$O(n)$，時間複雜度只有popMax是$O(n)$，其餘都是$O(1)$。

算法正確性證明的關鍵在於，證明$s_2$存放的是$s_1$裏從最大值到棧底的最大、次大等等值，出現次數一樣並且單調遞減排列。可以用數學歸納法，這裏省略。