SAR成像(二)：高方位向分辨率原理

文章僅爲個人理解，如有不妥之處歡迎指正。

在雷達系統中，當兩個目標位於同一距離，而方位角不同時，可以被雷達區分出來的最小間隔爲方位向分辨率。而方位向分辨率取決於天線有效波束寬度，當兩個目標之間的方位向距離大於天線波束寬度，就能區分開來，反之就不能被區分。合成孔徑雷達由於自身在方位向上的移動，在照射目標過程中合成了一個等效的大天線，從而實現方位向高分辨率。
對於真實孔徑雷達來說，它的方位向分辨率爲：$\rho=H\lambda/(Dsin\beta) ……(1)$ $H$天線距地高度，$\beta$爲俯角，$\lambda$爲波長，$D$爲天線長度，且$\lambda/D$爲波束寬度$H/sin\beta$其實就是雷達波束中心線到地面的長度。
當雷達工作頻率固定後，要提高方位分辨率必須增大天線長度$D$，這會受到雷達載體的限制，不可能將天線設計的很長。合成孔徑雷達利用載體飛行過程中在不同位置接收到的信號，進行方位向脈衝壓縮，以提高方位向的分辨率，以達到真實大孔徑天線系統的高分辨率。

下圖爲SAR正側視情況下的空間幾何關係圖。正側視情況下，雷達波束的中心線與測繪帶垂直，假定雷達的方位向波束角爲$\beta$，合成孔徑長度爲$L_s$，雷達在X軸上的座標爲x，雷達平臺前進速度爲v，目標P距天線r(t)，在X軸上座標爲x0，最小距離$R_c$。

則，目標與雷達平臺之間的距離爲：$r(t)=[R_c^2+(x-x_0)^2]^{1/2}……(2)$在理想運動條件下，有$x=vt$(雷達是動的，$x$不固定)，則有：$r(t)=[R_c^2+(vt-x_0)^2]^{1/2}……(3)$一般情況有$R_0>>(x-x_0)$，故上式近似爲：$r(t)=[R_c^2+(vt-x_0)^2]^{1/2}\approx R_c[1+(vt-x_0)^2/2R_c^2]……(3)$假定雷達發射的是連續的正弦波（其實發什麼波形無所謂），即：$s_t(t)=Aexp(jw_ct)……(4)$其中，$A$爲振幅，$w_c$爲發射信號的載頻，則點目標的回波信號課表示爲：$s(t)=\sigma Aexp(jw_c(t-t_d))……(5)$其中，$\sigma$爲目標散射係數，$t_d$爲：$t_d=\frac{2r(t)}{c}……(6)$由於雷達與目標之間有相互運動，產生多普勒效應，目標在方位向上的回波的瞬時多普勒頻率爲：$f_d(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{d}{dt}{\{w_c·\frac{2r(t)}{c}\}}……(7)$將式（3）代入式（7），化簡整理得到：$f_d(t)=-\frac{2v^2}{\lambda R_c}·(t-t_0)……(8)$其中，$t_0=2R_c/c$。觀察（8）式可以發現，在合成孔徑$T_s=L_s/v$這段時間內，$f_d$隨時間呈線性變化。故可以將方位向的回波多普勒信號看作是脈寬爲$T_s$、多普勒中心頻率爲0、調頻率爲$f_d=\frac{2v^2}{\lambda R_c}$的線性調頻信號。
雷達掃過目標持續時間（合成孔徑時間）$T_s$與雷達平臺以及天線長度之間的關係可以表示爲：$T_s=\frac{L_s}{v}=\frac{\beta ·R_c}{v}=\frac{\frac{\lambda}{D}·R_c}{v}……(9)$其中，$v$爲雷達平臺速度，$L_s$爲合成孔徑長度，$\beta$爲方位向的波束寬度，點目標回波信號的多普勒帶寬爲：$\triangle f_d=|f_d|T_s=\frac{2\beta v}{\lambda}……(10)$根據脈衝壓縮原理，方位向分辨率與雷達天線波束掃過目標P時產生的最大多普勒帶寬有關。當此線性調頻信號經匹配濾波器之後，得到的輸出信號（時域信號）包絡的主瓣寬度爲：$\tau_a=\frac{1}{\triangle f_d}=\frac{D}{2v}……(11)$$\tau_a$相當於方位向的時間分辨率，如果兩物體的回波多普勒信號經脈衝壓縮後的間隔小於$\tau_a$，雷達才能將他們分辨開來。合成孔徑雷達在方位向的分辨率爲：$\rho_a=\tau_av=\frac{D}{2}……(12)$由式（12）可知，合成孔徑雷達的方位分辨率與目標距離和波長無關，僅由天線方位向幾何尺寸決定，這一特性表明SAR對照射區內不同位置上的目標能做到等分辨率成像，並且從理論上說，分辨率精度可達$D/2$（實際中達不到）。減小$D$可以提高方位向分辨率，但將使天線增益下降，從而降低雷達探測距離。

參考：

[1]劉暉銘. 機載合成孔徑雷達成像算法研究[D].西安電子科技大學,2012.
[2]陳小利. 合成孔徑雷達成像研究[D].南京大學,2015.