【計算理論】確定性有窮自動機 ( 自動機組成 | 自動機語言 | 自動機等價 )

I . 確定性有窮自動機組成

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DFA , 全稱爲 Deterministic Finite Automaton , 確定性有窮自動機 ;

確定性 有窮自動機 組成 : 由以下的 $5$ 部分組成 , 放入集合中展示 $\{ \quad Q , \quad \Sigma , \quad , \delta \quad , q_0 , \quad F \quad \}$ ;

① $Q$ 狀態集 : 有限個狀態 ;

② $\Sigma$ 字母表 : 有限個字符集 , 長度有限的字符串 ;

③ $\delta$ 轉移函數 : $\delta$ 稱爲轉移函數 ; 基於當前的 自動機 的某個狀態 , 將字符集 輸入到自動機中 , 該自動機轉換成另一個狀態 , 這個轉換就是通過 $\delta$ 轉換函數進行的 , 使用公式描述 $Q \times \Sigma \to Q$ ;

④ $q_0$ 起始狀態 : 是自動機的開始狀態 ;

⑤ $F$ 接受狀態集 : $F$ 是 可接受狀態 , 是 $Q$ 的子集 , 記做 $F \subseteq Q$ , 與 $F$ 可接受狀態相對的是不可接受狀態 ;

II . 確定性有窮自動機計算過程

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1 . 自動機示例 : 上圖是上一篇博客的自動機示例 , 自動機開始執行後 , 將 字符串 “$0101$” 輸入到自動機中 , 從 Start 出發 , 根據當前的自動機狀態 , 結合當前處理的輸入字符 , 改變成另外一個自動機狀態 , 所有字符處理完畢後 , 查看當前自動機狀態是否是可接受狀態 ;

2 . 自動機運行過程 : 詳細的計算過程 , 參考上一篇博客 : 【計算理論】自動機 示例 ( 自動機示例 | 自動機表示方式 | 自動機計算流程簡介 )

3 . 自動機定義由來 : 將 $\{ \quad Q , \quad \Sigma , \quad , \delta \quad , q_0 , \quad F \quad \}$ 五個組件代入上述過程 , 就可以得到自動機定義 ;

III . 確定性有窮自動機定義

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確定性又窮自動機定義

1 . 有以下已知條件 :

① 有窮自動機 : $M$ ;

② 輸入信息 : 接收 $w$ 字符串作爲輸入 , $w$ 字符串可以寫成 $\{ \, w_1, w_2 , w_3 , \cdots w_m \, \}$ 等 $m$ 個字符 ; 其中 每個字符都屬於有限字符集 $\Sigma$ 中的字符 , 這些字符有重複的 , 這是輸入序列 , 下面是狀態序列 ; $m$ 是總共計算的次數 ;

③ 狀態序列 : 自動機 $M$ 有以下 $m + 1$ 個狀態序列 , $\{\, r_0 , r_1 , r_2 , \cdots , r_m \, \}$ , 這個序列中的狀態有很多重複的 , 這是自動機的執行序列 , 途徑的狀態 , 所有的狀態都屬於 $Q$ ; 這是 自動機 $M$ 計算過程中的 狀態序列 , 上面的輸入信息時每個狀態序列對應的輸入序列 ; $m$ 是總共計算的次數 ;

2 . 上述條件滿足如下計算 :

① 自動機起始狀態 : $r_0 = q_0$ , 自動機 $M$ 開始時 , 是 $q_0$ 起始狀態 , 相當於上圖中的 Start 狀態 ; 這也是爲什麼狀態序列比輸入信息序列多一個原因 , 狀態序列開始必須有一個狀態 , 之後每接受一個參數字符 , 就更新一個新的狀態 , 之後就狀態與輸入字符就是一一對應的 ; 最後狀態序列 比 字符序列多一個 ;

② 自動機計算 : 對於 $1 = 0 , 1 , \cdots , m-1$ , 有 $\delta(r_i , w_{i+1}) = r_{i+1}$ , 意思就是 當前是自動機的一個狀態 $r_i$ , 輸入一個 $w_{i+1}$ 字符後 , 變成了 $r_{i+1}$ 狀態 ;

③ 最終狀態可接受 : 最終的 $r_m$ 狀態必須是可接受狀態 , $r_m \in F$ ;

3 . 自動機組件 :

① $Q$ 狀態集 : 自動機的有限個狀態 , 其中有可接受狀態 ( 雙圈 ) , 不可接收狀態 ( 單圈 ) ;

② $\Sigma$ 字母表 : 有限個字符集 , 如 $\{0 ,1\}$ , 但其輸入可以是 $0101$ , 也可以是 $00111$ 等字符 ;

③ $\delta$ 轉移函數 : $\delta$ 稱爲轉換函數 ; 基於當前的 自動機 的某個狀態 , 將字符集 輸入到自動機中 , 該自動機轉換成另一個狀態 , 這個轉換就是通過 $\delta$ 轉換函數進行的 , 使用公式描述 $Q \times \Sigma \to Q$ ;

④ $q_0$ 起始狀態 : 是開始狀態 ;

⑤ $F$ 接受狀態集 : $F$ 是 可接受狀態 , 是 $Q$ 的子集 , 記做 $F \subseteq Q$ , 與 $F$ 可接受狀態相對的是不可接受狀態 ;

IV . 自動機 語言 與 等價

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1 . 自動機語言 : 確定性有窮自動機 $M$ , 將自動機 $M$ 所接受的所有的字符串放在一個集合 $A$ 中 , 該集合 $A$ 稱爲自動機 $M$ 的語言 , 自動機 $M$ 認識 ( 接受 ) $A$ 語言 , 記作 $L(M) = A$ ;

2 . 自動機等價 : 如果兩個自動機認識相同的語言 , 那麼稱這兩個自動機是等價的 ;

V . 自動機語言 示例

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1 . 自動機描述 :

自動機有 $5$ 個狀態 ;

$S$ 是開始狀態 ;

$q_1 , r_1$ 是可接受狀態 ;

$q_2 , r_2$ 是不可接受狀態 ;

自動機語言是 $\{ a , b \}$ 字符集 ;

下面開始分析上面 $5$ 狀態自動機的語言 ;

2 . 自動機 左側分支分析 :

① 執行流程 : 開始時 , 自動機是 $S$ 起始狀態 , 當輸入 $a$ 時 , 自動機狀態變成 $q_1$ , 此後不管多少次輸入 $a$ , 一直處於 $q_1$ 狀態 , 如果輸入 $b$ , 那麼就會轉爲 $q_2$ 狀態 , 如果一直輸入 $b$ , 自動機一直處於該非接受狀態 $q_2$ , 如果輸入 $a$ , 又回到接受狀態 $q_1$ ;

② 左側分支分析總結 : 左側分支 , 主要接受 以 $a$ 開頭 , 以 $a$ 結尾的字符串 , 最後才能進入接受狀態 ;

3 . 自動機 右側分支分析 :

① 執行流程 : 開始時 , 自動機是 $S$ 起始狀態 , 當輸入 $b$ 時 , 自動機狀態變成 $r_1$ , 此後不管多少次輸入 $b$ , 一直處於 $r_1$ 狀態 , 如果此時輸入 $a$ , 那麼就會轉爲 $r_2$ 狀態 , 此時如果一直輸入 $a$ , 自動機一直處於該非接受狀態 $r_2$ , 如果輸入 $b$ , 又回到接受狀態 $r_1$ ;

② 右側分支分析總結 : 右側分支 , 主要接受 以 $b$ 開頭 , 以 $b$ 結尾的字符串 , 最後才能進入接受狀態 ;

4 . 自動機 總體分析 : 自動機 $M$ 接受相同開頭 和 相同結尾的 字符串 ;

5 . 接受狀態 與 非接受狀態 : 只在計算結束以後纔開始起作用 ;

① 計算過程 : 在計算過程中 , 這兩個狀態沒有區別 , 可以任意轉換 ;

② 最終狀態 : 自動機的 最終的狀態 , 必須判定失接受狀態 還是 非接受狀態 , 如果是非接受狀態 , 說明輸入不對 , 自動機拒絕該輸入 ;