【計算理論】上下文無關語法 CFG ( CFG 設計示例 | CFG 歧義性 | Chomsky 範式 | 上下文無關語法 轉爲 Chomsky 範式 )

I . 上下文無關語法 設計 示例

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1 . 上下文無關語法 設計要求 : 設計一個語法 , 使用該語法生成語言 $w$ , 該 $w$ 語言的字符串的開始和結尾的字符是相同的 ;

2 . 設計方法 : 非確定性優先自動機 ( NFA ) 識別某語言 , 將 NFA 轉爲 確定性優先自動機 ( DFA ) , 然後將 DFA 轉爲 上下文無關語法 ;

3 . 語法設計要求分析 :

• 開始字符 要麼是 $0$ , 要麼就是 $1$ ;

• 如果開始字符是 $0$ , 對應的結尾字符也是 $0$ ;

• 如果開始字符是 $1$ , 對應的結尾字符也是 $1$ ;

4 . 初始狀態 $S$ 規則 : 上述語法描述轉爲規則 如下 , 其中 $S$ 爲初始狀態 ;

$S \to 0S'0 | 1S'1$

5 . $S'$ 規則 : $S'$ 表示中間的字符串 , 這個 $S'$ 字符串可以是任意字符串 , 根據下面的規則可以生成任意的 $0,1$ 組成的字符串 ;

$S' \to 0S' | 1S' | \varepsilon$

II . 上下文無關語法 的歧義性

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給出如下上下文無關語法 ( CFG ) :

$Expression \to Expression + Expression | Expression \times Expression | Expression | a$

語法的含義是 :

• $Expression$ 可以被 $Expression + Expression$ 替換 ;
• $Expression$ 可以被 $Expression \times Expression$ 替換 ;
• $Expression$ 可以被 $Expression$ 替換 ;
• $Expression$ 可以被 $a$ 替換 ;

1 . 語法的有歧義性 : 同樣的一個字符串 , 可以有不同的語法分析樹 ;

① 語法分析樹 1 :

2 . 在上述的 語法分析樹中 , 加法優先級高於乘法 , 這是錯誤的分析 ;

② 語法分析樹 2 :

在上述的 語法分析樹中 , 乘法優先級高於加法 , 這是正確的分析 ;

3 . 語法歧義性分析 : 上述語法中是無法區分 加法 和 乘法的優先級的 , 因此這裏得到兩個完全不一致得我語法分析樹 , 那麼該語法是有歧義的 ;

4 . 與代數表達式語法對比 : 之前講的代數表達式是好的語法 , 乘法 和 加法的優先級 也體現出來 , 乘法優先級高於加法 , 括號的優先級高於乘法 ;

① 代數表達式語法 :

• $Expression \to Expression + Term \quad | \quad Term$
• $Term \to Term \times Factor \quad | \quad Factor$
• $Factor \to Expression \quad | \quad a$

② 代數表達式語法分析樹 : 這個語法分析樹是唯一的 , 沒有其它的形式 , 該語法是沒有歧義的 ;

③ 有歧義的語法 : 在本節的語法中 , 無法區分 加法 和 乘法的優先級 , 該語法是有歧義的 ;

5 . 總結 : 如果語法有歧義 , 那麼中間的字符串有歧義 ; 沒有算法 可以判定 上下文無關語法 是否有歧義 ; 有些語法天生就是有歧義的 , 但可以通過某種方法去掉語法中的歧義性 ;

III . Chomsky 範式

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1 . Chomsky 範式 : 上下文無關語法中的任何規則都是如下格式 ;

① $A \to BC$ : $A$ 是 變元 , $B,C$ 也是變元 ;

② $A \to a$ : $A$ 是 變元 , $a$ 是常元 , $A$ 可以被終端字符替換 ;

③ $B ,C$ 變元要求 : $B, C$ 變元一定不能是開始變元 ;

④ $S \to \varepsilon$ : $S$ 開始變元可以爲空 ;

⑤ 不能出現 $變元 \to 變元$ 單個變元 到 單個變元不允許出現 ;

2 . $S \to \varepsilon$ 規則 說明 :

① 語言包含空字符串 : 如果上下文無關語法包含空字符串時 , 一定需要 $S \to \varepsilon$ 規則 ;

② 語言不包含空字符串 : 如果上下文無關語法不包含空字符串時 , 一定不需要 $S \to \varepsilon$ 規則 ;

③ 規則總結 : 該規則決定 上下文無關語法 所生成的語言 是否包含 空字符串 , 如果包含必須要這個規則 , 如果不包含空字符串一定不要這個規則 ;

IV . 上下文無關語法 轉爲 Chomsky 範式

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Chomsky 範式規則 的 上下文無關語法 生成的語言 的語法分析樹 除葉子節點之外 都 是二叉樹 , 葉子節點 與 上一層都是 一對一的節點 ;

任何 上下文無關語法 , 都可以找到一個 Chomsky 範式 與其等價 ;

任何 上下文無關語法 的語法分析樹 都可以進行修剪 , 修剪後的樹都是二叉樹 ;

上下文無關語法 轉爲 Chomsky 範式 步驟 :

1 . 添加開始變元及規則 : 添加一個新的開始變元 $S_0$ , 以及配套的規則 $S_0 \to S$ , $S$ 是舊的開始變元 ;

① 目的 : 添加開始變元的目的是 開始變元 永遠出現在左邊 ;

② Chomsky 範式 中 , 開始變元始終在規則的左邊 , 不允許開始變元在規則的右側 ;

③ 對應 Chomsky 範式 規則 : $A \to BC$ 規則 , $A$ 是 變元 , $B,C$ 也是變元 , 並且 $B,C$ 不允許是開始變元 ;

2 . 消除所有的 $\varepsilon$ 規則 : 消除所有從 變元 到 空字符 的規則 ;

3 . 消除所有的 $A \to B$ 規則 : 消除所有從 單個變元 到 單個變元的 單條規則 , 允許從 單個變元 到 多個變元或常元 ;

如 $A \to B$ 是需要刪除的 , $A \to BS$ 可以保留 ;

V . 上下文無關語法 轉爲 Chomsky 範式 示例

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將 上下文無關語法 $G6$ 轉爲 Chomsky 範式 :

• $S \to ASA | aB$
• $A \to B|S$
• $B \to b|\varepsilon$

轉換過程如下 :

1 . 添加新的開始變元 : $S_0$ , 舊的開始變元 $S$ 就不是開始變元了 ;

當前的語法格式如下 :

• $S_0 \to S$
• $S \to ASA | aB$
• $A \to B|S$
• $B \to b|\varepsilon$

2 . 消除 $\varepsilon$ 規則 :

消除 $\varepsilon$ 規則 原則 : 假設有規則 $C \to \varepsilon$ , $D \to uCv$ , 如果要刪除 $\varepsilon$ 規則 , 需要實現 消除前後具有 相同的替換效果 , 將規則改爲 $D \to uv$ 即可刪除 $\varepsilon$ 相關規則 ;
( 消除前後 , 替換效果必須一致 )

3 . 消除 $B \to b|\varepsilon$ 中的 $\varepsilon$ : 會影響 $S \to ASA | aB$ 和 $A \to B|S$ 兩條規則中涉及到了 $B$ 變元 , 消除的原則是 " 消除前後 , 替換效果必須一致 " ;

3.1 . $S \to ASA | aB$ 規則消除 $\varepsilon$ 分析 : 這裏討論 消除 $B \to b|\varepsilon$ 規則中的 $B \to \varepsilon$ 規則 對 $aB$ 的影響 ;

① 消除 $B \to \varepsilon$ 規則前分析 : 使用 $B \to b|\varepsilon$ 規則 對 $aB$ 進行替換 有兩種情況 , 分別是 $ab$ , $a$ , 兩種情況 ;

② 消除 $B \to \varepsilon$ 規則後分析 : 如果要消除 $B \to \varepsilon$ 規則 , 那麼消除後的規則是 $B \to b$ , 使用 $B \to b$ 規則對 $aB$ 進行替換 , 其替換 結果必須是 $ab$ , $a$ , 兩種情況 ;

分析 $ab$ , $a$ 兩種結果 :

• $aB$ 使用 $B \to b$ 規則替換 , 可以得到 $ab$ ;

• $a$ 替換結果無法獲取 , 此時需要在 $aB$ 的平級 , 再次添加 $a$ 即可達到上述效果 ;

$aB$ 最終修改方案 : 將 $aB$ 改爲 $aB|a$ , 使用 $B \to b$ 規則替換 $aB|a$ 的結果是 $ab$ , $a$ , 與上述消除 $B \to \varepsilon$ 規則 前的結果一致 ;

③ $S \to ASA | aB$ 規則對應的消除 $B \to \varepsilon$ 規則後的結果爲

$S \to ASA | aB | a$

④ 當前的語法格式如下 : 注意 還沒有討論 $A \to B|S$ 規則中的 $B$ , $B \to b|\varepsilon$ 規則中的 $\varepsilon$ 還不能刪除 ;

• $S_0 \to S$
• $S \to ASA | aB | a$
• $A \to B|S$ : 注意此時該規則不完善 , 還沒有刪除 $\varepsilon$ ;
• $B \to b$

3.2 . $A \to B|S$ 規則消除 $\varepsilon$ 分析 : 這裏討論 消除 $B \to b|\varepsilon$ 規則中的 $B \to \varepsilon$ 規則 對 $B$ 的影響 ;

① 消除 $B \to \varepsilon$ 規則前分析 : 使用 $B \to b|\varepsilon$ 規則 對 $B$ 進行替換 有兩種情況 , 分別是 $b$ , $\varepsilon$ , 兩種情況 ;

② 消除 $B \to \varepsilon$ 規則後分析 : 如果要消除 $B \to \varepsilon$ 規則 , 那麼消除後的規則是 $B \to b$ , 使用 $B \to b$ 規則對 $B$ 進行替換 , 其替換 結果必須是 $b$ , $\varepsilon$ , 兩種情況 ;

分析 $b$ , $\varepsilon$ 兩種結果 :

• $B$ 使用 $B \to b$ 規則替換 , 可以得到 $b$ ;

• $\varepsilon$ 替換結果無法獲取 , 此時需要在 $B$ 的平級 , 再次添加 $\varepsilon$ 即可達到上述效果 ;

$B$ 最終修改方案 : 將 $B$ 改爲 $B|\varepsilon$ , 使用 $B \to b$ 規則替換 $B|\varepsilon$ 的結果是 $b$ , $\varepsilon$ , 與上述消除 $B \to \varepsilon$ 規則 前的結果一致 ;

③ $A \to B|S$ 規則對應的消除 $B \to \varepsilon$ 規則後的結果爲

$A \to B| \varepsilon|S$

④ 當前的語法格式如下 : 注意 還沒有討論 $A \to B|S$ 規則中的 $B$ , $B \to b|\varepsilon$ 規則中的 $\varepsilon$ 還不能刪除 ;

• $S_0 \to S$
• $S \to ASA | aB | a$
• $A \to B| \varepsilon |S$
• $B \to b$

4 . 消除 $A \to B| \varepsilon |S$ 中的 $\varepsilon$ : 會影響 $S \to ASA | aB | a$ 規則中涉及到了 $A$ 變元 , 消除的原則是 " 消除前後 , 替換效果必須一致 " ;

① 消除 $ASA$ 中的 $\varepsilon$ , 添加以下項即可 :

• 第一個 $A$ 通過 $\varepsilon$ 代替 : 添加 $SA$ 項 ;

• 第二個 $A$ 通過 $\varepsilon$ 代替 : 添加 $AS$ 項 ;

• 兩個 $A$ 都通過 $\varepsilon$ 代替 : 是 $S$ , 可以不同寫 , $S \to S$ 沒啥意義 ;

② $S \to ASA | aB | a$ 規則對應的消除 $A \to \varepsilon$ 規則後的結果爲 :

$S \to ASA | AS | SA | aB | a$

③ 當前的語法格式如下 :

• $S_0 \to S$
• $S \to ASA | AS | SA | aB | a$
• $A \to B| S$
• $B \to b$

5 . 消除 $A \to B$ 規則 :

假設要消除 $C \to D$ 規則 : 如果語法中有 $D \to W$ 規則 , 那麼如果消除 $C \to D$ , 需要將 $C \to W$ 體現出來 ;

消除 $A \to B$ 規則 , 檢查 $B$ 出現在規則左邊的情況 , 這裏有 $B \to b$ 規則 , 需要 添加 $A\to b$ 規則後 , 即可刪除 $A \to B$ 規則 ;

刪除前規則 :

• $S_0 \to S$
• $S \to ASA | AS | SA | aB | a$
• $A \to B| S$
• $B \to b$

刪除後規則如下 :

• $S_0 \to S$
• $S \to ASA | AS | SA | aB | a$
• $A \to b| S$

6 . 消除 $A \to S$ 規則 :

① 消除 $A \to S$ 規則 , 檢查 $S$ 出現在規則左邊的情況 , 這裏有 $S \to ASA | AS | SA | aB | a$ 規則 , 需要 添加 $A\to ASA | AS | SA | aB | a$ 規則後 , 即可刪除 $A \to S$ 規則 ;

② 刪除前規則 :

• $S_0 \to S$
• $S \to ASA | AS | SA | aB | a$
• $A \to b | S$

③ 刪除後規則如下 :

• $S_0 \to S$
• $S \to ASA | AS | SA | aB | a$
• $A \to b| ASA | AS | SA | aB | a$

7 . 分解規則 :

① 分解示例 : $S \to ASA$ 可以分解爲 $S \to R$ , $R \to SA$

② 分解前的規則 :

• $S_0 \to S$
• $S \to ASA | AS | SA | aB | a$
• $A \to b| ASA | AS | SA | aB | a$

③ 分解後的規則 :

• $S_0 \to S$

下面的規則 是 $S \to ASA | AS | SA | aB | a$ 分解後的規則 :

• $S \to R$
• $R \to SA$
• $S \to AS$
• $S \to SA$
• $S \to aB$
• $S \to a$

下面的規則 是 $A \to b| ASA | AS | SA | aB | a$ 分解後的規則 :

• $A \to b$
• $A \to R$
• $A \to SA$
• $A \to AS$
• $A \to SA$
• $A \to aB$
• $A \to a$