【計算理論】上下文無關語法 ( 語法組成 | 規則 | 語法 | 語法示例 | 約定的簡寫形式 | 語法分析樹 )

I . 語法組成

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上下文無關語法 組成 : 由 $\{ \quad V , \Sigma , R , S \quad \}$ 四部分組成 ;

變量集 $V$ : 有限的變量集合 ;

終端字符集 $\Sigma$ : 有限的終端字符組成的集合 ; 相當於常量的含義 , 與變量相對 ;

規則集 $R$ : 有限的規則組成的集合 , 規則規定如何進行代換操作 , 規定 變量 , 終端字符 , 字符串變量 等 ;

開始變量 $S$ : 該變量作爲開始變量 ;

II . 規則

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規則 簡介 :

① 已知條件 : 假設 $u, v , w$ 是 變量 ( 變元 ) 或 終端字符集 ( 常量 / 常元 ) ;

② 規則描述 : 規則是一個箭頭 , $A \to w$ , $A$ 是變元 , $w$ 是 變元 和 常元 組成的終端字符 ;

③ 規則用法 : 在字符串中 , 根據 $A \to w$ 規則進行替換 , 只需要將 $A$ 變元替換成 $w$ 字符串即可 ;

④ 規則示例 : $uAv$ 中使用上述規則進行替換 , 將 $A$ 替換成 $w$ , 替換結果是得到新字符串 $uwv$ ;

$uAv \Rightarrow uwv$

III . 語法

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1 . 有限次規則替換 : $u \Rightarrow *v$ 表示有限多次替換後 , 每一步替換的臨時結果序列組成集合 $\{u_1 , u_2 , \cdots , u_k\}$ , 最終結果是 終端字符 ;

2 . 有限次規則替換 步驟 :

• $u$ 根據某規則進行替換得到 $u_1$ ;
• $u_1$ 根據某規則進行替換得到 $u_2$ ;
• $\vdots$
• $u_k$ 根據某規則進行替換得到 $v$ ;

3 . 最終規則替換結果要求 : $v$ 中不包含變元 , 全部由 終端字符 ( 常元 ) 組成的 字符串 ;

$v$ 是由 $u$ 生成的 ;

4 . 語法定義 : 從開始變元 , 使用規則逐步替換 , 替換到最後 , 將所有 終端字符組成字符串 放在一個集合中 , 稱爲語法生成的語言 ;

$L(G) = \{ w \in \Sigma^* : S \Rightarrow *w \}$

IV . 語法示例

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1 . 語法組成部分 : $G3 =( \; \{ S \}, \{ a, b \}, R , S \; )$ 其組成如下 :

• 變量集 $\{ S \}$ ;

• 終端字符集 $\{ a, b \}$ ;

• 規則 $R$ ;

• 開始變量 $S$ ;

2 . 規則 $R$ 描述 :

$S \to aSb \; | \; SS \; | \; \varepsilon$

• $S$ 變量 可以使用 $aSb$ 字符串替換 ;
• $S$ 變量 可以使用 $SS$ 字符串替換 ;
• $S$ 變量 可以使用 $\varepsilon$ 字符串替換 ;

3 . 規則替換過程 :

① $S$ 是開始變量 , 可以使用 $aSb$ 替換 :

$S \Rightarrow aSb$

② 使用 $aSb$ 替換 $S$ :

$S \Rightarrow aSb \Rightarrow aaSbb$

③ 使用 $SS$ 替換 $S$ :

$S \Rightarrow aSb \Rightarrow aaSbb \Rightarrow aaSSbb$

④ 使用 $aSb$ 替換第一個 $S$ :

$S \Rightarrow aSb \Rightarrow aaSbb \Rightarrow aaSSbb \Rightarrow aaaSbSbb$

⑤ 使用 $\varepsilon$ 替換第一個 $S$ :

$S \Rightarrow aSb \Rightarrow aaSbb \Rightarrow aaSSbb \Rightarrow aaaSbSbb \Rightarrow aaabSbb$

⑥ 使用 $aSb$ 替換 $S$ :

$S \Rightarrow aSb \Rightarrow aaSbb \Rightarrow aaSSbb \Rightarrow aaaSbSbb \Rightarrow aaabSbb \Rightarrow aaabaSbbb$

⑦ 使用 $\varepsilon$ 替換 $S$ :

$S \Rightarrow aSb \Rightarrow aaSbb \Rightarrow aaSSbb \Rightarrow aaaSbSbb \Rightarrow aaabSbb \Rightarrow aaabaSbbb \Rightarrow aaababbb$

最終得到 $aaababbb$ 字符串 , 該字符串全部由終端字符構成 , 是從 $S$ 開始狀態出發 , 按照 $R$ 規則替換得來的 ;

稱該字符串由 語法 $G3$ 生成的 ;

V . 語法簡寫形式

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語法可以使用下面的形式簡單表示 , 沒有必要使用繁瑣的形式 , 可以使用約定的簡寫形式 ;

約定寫法 :

• $A \to 0A1$
• $A \to B$
• $B \to l$

開始狀態約定 : 左上方的變元 $A$ 約定是 開始變元 ;

變元約定 : 大寫字母 $A,B$ 約定爲 變元 ;

終端字符約定 : 小寫字母 約定爲 終端字符 ;

VI . 語法分析樹

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語法分析樹 : 字符串生成的過程 , 可以寫成語法分析樹 ;

將上述 簡寫的 約定語法描述 , 生成 終端字符構成的字符串 ;

1 . 開始狀態 : $A$ , 使用 $0A1$ 替換 $A$ ;

$A \Rightarrow 0A1$

當前語法分析樹 :

2 . 使用 $0A1$ 替換 $A$ ;

$A \Rightarrow 0A1 \Rightarrow 00A11$

當前語法分析樹 :

3 . 使用 $0A1$ 替換 $A$ ;

$A \Rightarrow 0A1 \Rightarrow 00A11 \Rightarrow 000A111$

當前語法分析樹 :

4 . 使用 $B$ 替換 $A$ ;

$A \Rightarrow 0A1 \Rightarrow 00A11 \Rightarrow 000A111 \Rightarrow 000B111$

當前語法分析樹 :

5 . 使用 $l$ 替換 $B$ ;

$A \Rightarrow 0A1 \Rightarrow 00A11 \Rightarrow 000A111 \Rightarrow 000B111 \Rightarrow 000l111$

當前語法分析樹 :

6 . 最終得到的字符串爲 $000l111$ ;

VII . 代數表達式 語法

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1 . 代數表達式 語法 : $G4 = ( V , A , R , Expression )$ 是代數表達式語法 ;

① 終端字符集 : $A = \{ a , + , \times , () \}$ ;

② 變量集 : $V = \{ Expression , Term , Factor \}$ ;

• $Expression$ 是表達式 ;
• $Term$ 是項 ;
• $Factor$ 是因子 ;

2 . $Expression$ 表達式 規則 :

$Expression \to Expression + Term | Term$

$Expression$ ( 表達式 ) 可以通過 $Expression + Term | Term$ 代替 ;

3 . $Term$ 項 規則 :

$Term \to Term \times Factor | Factor$

$Term$ 項 可以通過 $Term \times Factor | Factor$ 代替 ;

4 . $Factor$ 因子 規則 :

$Factor \to Expression | a$

$Factor$ 因子 可以通過 $Expression | a$ 代替 ;